题目
设X~N(3,22)(1)求P (2<X≤5),P (-4<X≤10),P(|X|>2),P (X>3)(2)决定c使得P (X > c )=P (X≤ c )。(3)设d满足P (X > d )≥0.9,问d至少为多少?
设X~N(3,22)
(1)求P {2<X≤5},P {-4<X≤10},P{|X|>2},P {X>3}
(2)决定c使得P {X > c }=P {X≤ c }。
(3)设d满足P {X > d }≥0.9,问d至少为多少?
题目解答
答案
解:因为X~N(3,22)
(1)
;
;
;
。
(2)由
,得
,
,
即有
,于是
。
(3)由
,有
因为概率分布函数是单调不减函数,所以
,
因此,
。
解析
步骤 1：标准化正态分布
对于X~N(3,22)，我们首先需要将X标准化为标准正态分布Z~N(0,1)。标准化公式为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。对于X~N(3,22)，$\mu = 3$，$\sigma = \sqrt{22}$。
步骤 2：计算P {2将X=2和X=5代入标准化公式，得到$Z_1 = \frac{2 - 3}{\sqrt{22}}$和$Z_2 = \frac{5 - 3}{\sqrt{22}}$。然后使用标准正态分布表或计算器找到对应的概率值，计算$P(Z_1 < Z \leq Z_2)$。
步骤 3：计算P {-4同样地，将X=-4和X=10代入标准化公式，得到$Z_1 = \frac{-4 - 3}{\sqrt{22}}$和$Z_2 = \frac{10 - 3}{\sqrt{22}}$。然后使用标准正态分布表或计算器找到对应的概率值，计算$P(Z_1 < Z \leq Z_2)$。
步骤 4：计算P{|X|>2}
将X=2和X=-2代入标准化公式，得到$Z_1 = \frac{2 - 3}{\sqrt{22}}$和$Z_2 = \frac{-2 - 3}{\sqrt{22}}$。然后使用标准正态分布表或计算器找到对应的概率值，计算$P(Z < Z_1) + P(Z > Z_2)$。
步骤 5：计算P {X>3}
将X=3代入标准化公式，得到$Z = \frac{3 - 3}{\sqrt{22}} = 0$。然后使用标准正态分布表或计算器找到对应的概率值，计算$P(Z > 0)$。
步骤 6：决定c使得P {X > c }=P {X≤ c }
由于X~N(3,22)是对称分布，所以当c=3时，P {X > c }=P {X≤ c }。
步骤 7：设d满足P {X > d }≥0.9
将P {X > d }≥0.9转化为标准正态分布的概率，然后使用标准正态分布表或计算器找到对应的Z值，最后反标准化得到d的值。
对于X~N(3,22)，我们首先需要将X标准化为标准正态分布Z~N(0,1)。标准化公式为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。对于X~N(3,22)，$\mu = 3$，$\sigma = \sqrt{22}$。
步骤 2：计算P {2
步骤 3：计算P {-4
步骤 4：计算P{|X|>2}
将X=2和X=-2代入标准化公式，得到$Z_1 = \frac{2 - 3}{\sqrt{22}}$和$Z_2 = \frac{-2 - 3}{\sqrt{22}}$。然后使用标准正态分布表或计算器找到对应的概率值，计算$P(Z < Z_1) + P(Z > Z_2)$。
步骤 5：计算P {X>3}
将X=3代入标准化公式，得到$Z = \frac{3 - 3}{\sqrt{22}} = 0$。然后使用标准正态分布表或计算器找到对应的概率值，计算$P(Z > 0)$。
步骤 6：决定c使得P {X > c }=P {X≤ c }
由于X~N(3,22)是对称分布，所以当c=3时，P {X > c }=P {X≤ c }。
步骤 7：设d满足P {X > d }≥0.9
将P {X > d }≥0.9转化为标准正态分布的概率，然后使用标准正态分布表或计算器找到对应的Z值，最后反标准化得到d的值。