题目
447 设总体X与Y都服从正态分布N(0,0^2),已知X1,···,xm与Y1,...Yn是分别来自总-|||-体X与Y两个相互独独的简单随机样本,统计量 =dfrac (2({X)_(1)+... +(X)_(m))}(sqrt {{{Y)_(1)}^2+... +({Y)_(n)}^2}} 服从t(n)分布,则 dfrac (m)(n) 等于-|||-(A)1. (B) 1/2. (C) dfrac (1)(3). (D) dfrac (1)(4).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定统计量的分布
已知 $X_1, \cdots, X_m$ 和 $Y_1, \cdots, Y_n$ 分别是来自正态分布 $N(0, \sigma^2)$ 的两个独立的简单随机样本。统计量 $Y$ 定义为 $Y=\dfrac {2({X}_{1}+\cdots +{X}_{n})}{\sqrt {{{Y}_{1}}^{2}+\cdots +{{Y}_{n}}^{2}}}$，且服从 $t(n)$ 分布。
步骤 2：应用t分布的典型模式
根据t分布的典型模式，若 $U \sim N(0,1)$ 且 $V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立，则 $\dfrac{U}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$。因此，我们需要将统计量 $Y$ 转换为这种形式。
步骤 3：转换统计量
首先，由于 $X_1, \cdots, X_m$ 是来自 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，所以 $\sum_{i=1}^{m} X_i \sim N(0, m\sigma^2)$。因此，$\dfrac{\sum_{i=1}^{m} X_i}{\sqrt{m\sigma^2}} \sim N(0,1)$。令 $U = \dfrac{\sum_{i=1}^{m} X_i}{\sqrt{m\sigma^2}}$，则 $U \sim N(0,1)$。
其次，由于 $Y_1, \cdots, Y_n$ 是来自 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，所以 $\dfrac{Y_i}{\sigma} \sim N(0,1)$。因此，$\sum_{i=1}^{n} \left(\dfrac{Y_i}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n)$。令 $V = \sum_{i=1}^{n} \left(\dfrac{Y_i}{\sigma}\right)^2$，则 $V \sim \chi^2(n)$。
步骤 4：将统计量 $Y$ 转换为t分布的形式
根据上述转换，统计量 $Y$ 可以写为 $Y = \dfrac{2\sqrt{m\sigma^2}U}{\sqrt{\sigma^2 V}} = \dfrac{2\sqrt{m}U}{\sqrt{V}}$。由于 $U \sim N(0,1)$ 且 $V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立，所以 $\dfrac{U}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$。因此，$Y = \dfrac{2\sqrt{m}U}{\sqrt{V}} = 2\sqrt{\dfrac{m}{n}} \dfrac{U}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$。根据题设，$Y$ 服从 $t(n)$ 分布，所以 $2\sqrt{\dfrac{m}{n}} = 2$，即 $\sqrt{\dfrac{m}{n}} = 1$，从而 $\dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{4}$。
已知 $X_1, \cdots, X_m$ 和 $Y_1, \cdots, Y_n$ 分别是来自正态分布 $N(0, \sigma^2)$ 的两个独立的简单随机样本。统计量 $Y$ 定义为 $Y=\dfrac {2({X}_{1}+\cdots +{X}_{n})}{\sqrt {{{Y}_{1}}^{2}+\cdots +{{Y}_{n}}^{2}}}$，且服从 $t(n)$ 分布。
步骤 2：应用t分布的典型模式
根据t分布的典型模式，若 $U \sim N(0,1)$ 且 $V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立，则 $\dfrac{U}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$。因此，我们需要将统计量 $Y$ 转换为这种形式。
步骤 3：转换统计量
首先，由于 $X_1, \cdots, X_m$ 是来自 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，所以 $\sum_{i=1}^{m} X_i \sim N(0, m\sigma^2)$。因此，$\dfrac{\sum_{i=1}^{m} X_i}{\sqrt{m\sigma^2}} \sim N(0,1)$。令 $U = \dfrac{\sum_{i=1}^{m} X_i}{\sqrt{m\sigma^2}}$，则 $U \sim N(0,1)$。
其次，由于 $Y_1, \cdots, Y_n$ 是来自 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，所以 $\dfrac{Y_i}{\sigma} \sim N(0,1)$。因此，$\sum_{i=1}^{n} \left(\dfrac{Y_i}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n)$。令 $V = \sum_{i=1}^{n} \left(\dfrac{Y_i}{\sigma}\right)^2$，则 $V \sim \chi^2(n)$。
步骤 4：将统计量 $Y$ 转换为t分布的形式
根据上述转换，统计量 $Y$ 可以写为 $Y = \dfrac{2\sqrt{m\sigma^2}U}{\sqrt{\sigma^2 V}} = \dfrac{2\sqrt{m}U}{\sqrt{V}}$。由于 $U \sim N(0,1)$ 且 $V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立，所以 $\dfrac{U}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$。因此，$Y = \dfrac{2\sqrt{m}U}{\sqrt{V}} = 2\sqrt{\dfrac{m}{n}} \dfrac{U}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$。根据题设，$Y$ 服从 $t(n)$ 分布，所以 $2\sqrt{\dfrac{m}{n}} = 2$，即 $\sqrt{\dfrac{m}{n}} = 1$，从而 $\dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{4}$。