4.设样本X(容量为1)取自具有概率密度f(x)的总体,今有关于总体的假设:-|||-_(0):f(x)= ,试求该检验的第一类错误概率P1及第二类错误概率PⅡ·

考查要点：本题主要考查假设检验中第一类错误（拒真概率）和第二类错误（取伪概率）的计算，需要结合概率密度函数进行积分运算。

解题核心思路：

1. 第一类错误：在原假设$H_0$成立时，样本落入拒绝域$W$的概率。此时，样本服从$H_0$的均匀分布$U(0,1)$，直接计算积分即可。
2. 第二类错误：在备择假设$H_1$成立时，样本落入接受域（即拒绝域的补集）的概率。此时，样本服从$H_1$的密度函数$f(x)=2x$，需计算积分。

破题关键点：

• 明确假设对应的密度函数：$H_0$对应均匀分布，$H_1$对应$f(x)=2x$。
• 正确划分接受域和拒绝域：拒绝域为$X > \frac{2}{3}$，接受域为$X \leq \frac{2}{3}$。
• 积分计算：根据概率密度函数的定义，分别计算对应区间的积分值。

第一类错误概率$P_I$的计算

1. 条件：$H_0$成立，即$X \sim U(0,1)$，概率密度函数为：
   $f(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
2. 拒绝域：$W = \{X > \frac{2}{3}\}$。
3. 计算概率：
   $P_I = P(X > \frac{2}{3} \mid H_0) = \int_{\frac{2}{3}}^1 1 \, dx = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.$

第二类错误概率$P_{II}$的计算

1. 条件：$H_1$成立，即$X$的概率密度函数为：
   $f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
2. 接受域：$X \leq \frac{2}{3}$。
3. 计算概率：
   $P_{II} = P(X \leq \frac{2}{3} \mid H_1) = \int_0^{\frac{2}{3}} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^{\frac{2}{3}} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 0 = \frac{4}{9}.$