题目
5.设x1,x2,···,xn是来自总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的样本,x为样本-|||-均值,令 =dfrac (sum _{i=1)^n(({x)_(i)-overline (x))}^2}({sigma )^2} ,则 sim () .-|||-.-|||-(A) ^2(n-1) ; (B)x^2(n);-|||-(C)N(μ,σ^2); (D) (mu ,dfrac ({sigma )^2}(n))
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本函数
$Y=\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}}{{\sigma }^{2}}$ 是一个样本函数，其中 ${x}_{i}$ 是样本观测值，$\overline {x}$ 是样本均值，$\sigma ^{2}$ 是总体方差。
步骤 2：样本方差的定义
样本方差 $S^{2}$ 定义为 $S^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，因此 $Y=(n-1)\dfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}$。
步骤 3：卡方分布的定义
根据卡方分布的定义，如果 $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ 是来自正态总体 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ 的样本，那么 $\dfrac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $\dfrac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}\sim \chi ^{2}(n-1)$。
$Y=\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}}{{\sigma }^{2}}$ 是一个样本函数，其中 ${x}_{i}$ 是样本观测值，$\overline {x}$ 是样本均值，$\sigma ^{2}$ 是总体方差。
步骤 2：样本方差的定义
样本方差 $S^{2}$ 定义为 $S^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，因此 $Y=(n-1)\dfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}$。
步骤 3：卡方分布的定义
根据卡方分布的定义，如果 $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ 是来自正态总体 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ 的样本，那么 $\dfrac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $\dfrac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}\sim \chi ^{2}(n-1)$。