6.设函数f(x)=x^2cos x-sin x,证明至少存在一点xiin(pi,(3)/(2)pi),使得f(xi)=0.

函数 $ f(x) = x^2 \cos x - \sin x $ 在区间 $[\pi, \frac{3}{2}\pi]$ 上连续。 计算端点值： - 当 $ x = \pi $ 时，$ f(\pi) = \pi^2 \cos \pi - \sin \pi = -\pi^2 < 0 $； - 当 $ x = \frac{3}{2}\pi $ 时，$ f\left(\frac{3}{2}\pi\right) = \left(\frac{3}{2}\pi\right)^2 \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) - \sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) = 1 > 0 $。 由介值定理，函数在区间 $ (\pi, \frac{3}{2}\pi) $ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $ f(\xi) = 0 $。 \[ \boxed{ \text{至少存在一点 } \xi \in (\pi, \frac{3}{2}\pi) \text{，使得 } f(\xi) = 0。 } \]