设随机变量X~N（1，1），概率密度为f（x），分布函数F（x），则下列正确的是（）A. P｛X≤0｝=P｛X≥0｝B. P｛X≤1｝=P｛X≥1｝C. f（x）=f（-x），x∈RD. F（x）=1-F（-x），x∈R

考查要点：本题主要考查正态分布的对称性及其概率性质，特别是对分布函数和概率密度函数的理解。

解题核心思路：

1. 正态分布的对称性：正态分布$N(\mu, \sigma^2)$的密度函数关于均值$\mu$对称，即$f(\mu + a) = f(\mu - a)$。
2. 中位数性质：正态分布的均值$\mu$也是中位数，因此$P(X \leq \mu) = P(X \geq \mu) = 0.5$。
3. 分布函数与密度函数的关系：分布函数$F(x)$表示概率累积，需注意对称性是否成立。

破题关键点：

• 明确正态分布的对称轴为$\mu=1$，而非原点。
• 排除基于原点对称（如选项C、D）或错误中位数（如选项A）的干扰项。

选项分析

选项A：$P\{X \leq 0\} = P\{X \geq 0\}$

• 错误。正态分布的对称轴是$\mu=1$，而非$x=0$。因此，$P\{X \leq 0\}$对应左侧尾部概率，远小于$P\{X \geq 0\}$。

选项B：$P\{X \leq 1\} = P\{X \geq 1\}$

• 正确。$\mu=1$是正态分布的中位数，因此两侧概率均为$0.5$，满足等式。

选项C：$f(x) = f(-x)$，$x \in \mathbb{R}$

• 错误。正态分布的对称轴为$x=1$，应满足$f(1 + a) = f(1 - a)$，而非关于原点对称。

选项D：$F(x) = 1 - F(-x)$，$x \in \mathbb{R}$

• 错误。此性质仅在标准正态分布（$\mu=0$）时成立。对于$\mu=1$，应验证$F(1 + a) + F(1 - a) = 1$，但$F(-x)$与$F(x)$无直接对称关系。