题目

作业3.利用复数的指数形式计算下列各式:(i) ((1+sqrt(3)i)/(1-sqrt(3)i))^5; (ii) sqrt[4](-2+2i).

作业3.利用复数的指数形式计算下列各式: (i) $(\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i})^{5}$; (ii) $\sqrt[4]{-2+2i}$.

题目解答

答案

(i) 将复数转换为极坐标形式：
$\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i} = \frac{2e^{i\pi/3}}{2e^{-i\pi/3}} = e^{i2\pi/3}$
提升到5次幂：
$\left(e^{i2\pi/3}\right)^5 = e^{i10\pi/3} = e^{i4\pi/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
答案： $\boxed{-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i}$

(ii) 将复数转换为极坐标形式：
$-2 + 2i = 2\sqrt{2}e^{i3\pi/4}$
计算四次方根：
$\sqrt[4]{2\sqrt{2}e^{i3\pi/4}} = 2^{3/8}e^{i(3\pi/16 + k\pi/2)} \quad (k=0,1,2,3)$
答案： $\boxed{2^{3/8}e^{i(3\pi/16 + k\pi/2)} \text{（} k=0,1,2,3 \text{）}}$
或等价表示：$\boxed{\sqrt[8]{8}\left(\cos\frac{3\pi + 8k\pi}{16} + i\sin\frac{3\pi + 8k\pi}{16}\right) \text{（} k=0,1,2,3 \text{）}}$

解析

本题主要考查复数的指数形式以及复数的幂运算和开方运算。解题的关键在于将复数准确地转换为指数形式，然后利用指数运算法则进行计算。

(i) 计算$(\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i})^{5}$

  1. 将分子分母化为指数形式：
    • 对于复数$z = a + bi$，其模$\vert z\vert=\sqrt{a^2 + b^2}$，辐角$\theta$满足$\tan\theta=\frac{b}{a}$。
    • 对于$z_1 = 1+\sqrt{3}i$，$\vert z_1\vert=\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{1 + 3}=2$，$\tan\theta_1=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，因为$z_1$在第一象限，所以$\theta_1=\frac{\pi}{3}$，则$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$。
    • 对于$z_2 = 1-\sqrt{3}i$，$\vert z_2\vert=\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1 + 3}=2$，$\tan\theta_2=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}$，因为$z_2$在第四象限，所以$\theta_2=-\frac{\pi}{3}$，则$z_2 = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$。
    • 那么$\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}=\frac{z_1}{z_2}=\frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{2e^{-i\frac{\pi}{3}}}$。
  2. 根据指数运算法则化简：
    • 根据$\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}=e^{i(\alpha - \beta)}$，可得$\frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{2e^{-i\frac{\pi}{3}}}=e^{i(\frac{\pi}{3}-(-\frac{\pi}{3}))}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$。
  3. 进行幂运算：
    • 根据$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$，可得$(e^{i\frac{2\pi}{3}})^5 = e^{i\times5\times\frac{2\pi}{3}}=e^{i\frac{10\pi}{3}}$。
    • 因为$e^{i\theta}$的周期是$2\pi$，$\frac{10\pi}{3}=4\pi-\frac{2\pi}{3}$，所以$e^{i\frac{10\pi}{3}}=e^{i(4\pi-\frac{2\pi}{3})}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}$。
    • 又因为$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$，所以$e^{-i\frac{2\pi}{3}}=\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})$。
    • 根据三角函数的性质$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$，$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，则$\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})=\cos\frac{2\pi}{3}-i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

(ii) 计算$\sqrt[4]{-2 + 2i}$

  1. 将复数化为指数形式：
    • 对于$z=-2 + 2i$，$\vert z\vert=\sqrt{(-2)^2 + 2^2}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，$\tan\theta=\frac{2}{-2}=-1$，因为$z$在第二象限，所以$\theta=\frac{3\pi}{4}$，则$z = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$。
  2. 计算四次方根：
    • 根据复数的$n$次方根公式$\sqrt[n]{r e^{i\theta}}=r^{\frac{1}{n}}e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})}$（$k = 0,1,\cdots,n - 1$），对于$n = 4$，$r = 2\sqrt{2}=2^{\frac{3}{2}}$，$\theta=\frac{3\pi}{4}$，则$\sqrt[4]{2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}}=(2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{4}}e^{i(\frac{\frac{3\pi}{4}+ 2k\pi}{4})}$。
    • 先计算$(2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{2}\times\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{8}}$。
    • 再计算$e^{i(\frac{\frac{3\pi}{4}+ 2k\pi}{4})}=e^{i(\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2})}$（$k = 0,1,2,3$）。
    • 也可以写成三角形式，根据$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$，则$2^{\frac{3}{8}}e^{i(\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2})}=2^{\frac{3}{8}}(\cos(\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}))=\sqrt[8]{8}(\cos\frac{3\pi + 8k\pi}{16} + i\sin\frac{3\pi + 8k\pi}{16})$（$k = 0,1,2,3$）。