题目
设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= dfrac (1)(theta )(x)^(1-theta )/theta , . lt xlt 1, lt theta lt alpha ,-|||-其他.-|||-X1,X2,···,Xn是来自总体X的样本.-|||-(1)验证θ的最大似然估计量是 hat (theta )=dfrac (-1)(n)sum _(i=1)^nln (X)_(i),-|||-(2)证明θ是θ的无偏估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造似然函数
给定样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数 $L(\theta)$ 定义为样本联合概率密度函数，即：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta)$
步骤 2：对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数 $l(\theta)$：
$l(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(X_i; \theta)$
步骤 3：求导数并求解
对对数似然函数 $l(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于零，求解 $\theta$ 的值。
步骤 4：验证无偏性
计算 $\theta$ 的期望值，验证其是否等于 $\theta$。
给定样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数 $L(\theta)$ 定义为样本联合概率密度函数，即：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta)$
步骤 2：对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数 $l(\theta)$：
$l(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(X_i; \theta)$
步骤 3：求导数并求解
对对数似然函数 $l(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于零，求解 $\theta$ 的值。
步骤 4：验证无偏性
计算 $\theta$ 的期望值，验证其是否等于 $\theta$。