题目
若矩阵2 0 0-|||-A= 0 2 2-|||-0 2 t正定，则t的取值范围是________________________
若矩阵
正定，则t的取值范围是________________________
题目解答
答案
t ＞ 2
解析
步骤 1：定义正定矩阵
一个实对称矩阵A是正定的，当且仅当对于所有非零向量x，有x^T A x > 0。此外，一个矩阵是正定的，当且仅当它的所有主子式都大于0。
步骤 2：计算主子式
对于矩阵$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & t \end{pmatrix}$，我们需要计算它的所有主子式。
- 第一个主子式是$2$，显然大于0。
- 第二个主子式是$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4$，也大于0。
- 第三个主子式是$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & t \end{vmatrix} = 2(2t - 4) = 4(t - 2)$，需要大于0。
步骤 3：确定t的取值范围
为了使矩阵A正定，第三个主子式$4(t - 2)$必须大于0，即$t - 2 > 0$，从而得到$t > 2$。
一个实对称矩阵A是正定的，当且仅当对于所有非零向量x，有x^T A x > 0。此外，一个矩阵是正定的，当且仅当它的所有主子式都大于0。
步骤 2：计算主子式
对于矩阵$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & t \end{pmatrix}$，我们需要计算它的所有主子式。
- 第一个主子式是$2$，显然大于0。
- 第二个主子式是$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4$，也大于0。
- 第三个主子式是$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & t \end{vmatrix} = 2(2t - 4) = 4(t - 2)$，需要大于0。
步骤 3：确定t的取值范围
为了使矩阵A正定，第三个主子式$4(t - 2)$必须大于0，即$t - 2 > 0$，从而得到$t > 2$。