5.[单选题]设总体X的数学期望为μ,方差为 (pi )^2 ,-|||-X1,X2是来自总体X的一个样本,则下列4个估-|||-计量中最有效的是 ()-|||-A fù _(1)=dfrac (1)(5)(x)_(1)+dfrac (4)(5)(x)_(2)-|||-B (lambda )_(2)=dfrac (1)(2)(X)_(1)+dfrac (1)(2)(X)_(2)-|||-(C) _(3)=dfrac (1)(8)(X)_(1)+dfrac (1)(4)(X)_(2) .-|||-(D) (hat {mu )}_(4)=dfrac (1)(2)(X)_(1)+dfrac (1)(3)(X)_(2) .

本题考察点估计中有效性的判断，有效性是指在所有无偏估计量中，方差最小的估计量最有效。解题步骤如下：

步骤1：判断估计量的无偏性

无偏估计量需满足 $E(\hat{\mu}) = \mu$。对于线性估计量 $\hat{\mu} = aX_1 + bX_2$，期望为：
$E(\hat{\mu}) = aE(X_1) + bE(X_2) = a\ + + b区 = (a + b)\mu$
要使 $E(\hat{\mu}) = \mu$，需 $a + b = 1$。

步骤2：计算各选项的系数和

• 选项A：$\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$（满足无偏）
• 选项B：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$（满足无偏）
• 选项C：$\frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \neq 1$（不满足无偏，排除）
• 选项D：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \neq 1$（不满足无偏，排除）

步骤3：比较无偏估计量的方差

总体方差 $D(X) = \pi^2$，样本 $X_1, X_2$ 独立，故：
$D(\hat{\mu}) = a^2D(X_1) + b^2D(X_2) = (a^2 + b^2)\pi^2$
只需比较 $a^2 + b^2$ 的大小（因 $\pi^2 > 0$，方差最小等价于 $a^2 + b^2$ 最小）。

步骤4：计算A、B的 $a^2 + b^2$

• 选项A：$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{1 + 16}{25} = \frac{17}{25} = 0.68$
• 选项B：$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1 + 1}{4} = 0.5$

因 $0.5 < 0.68$，选项B的方差最小，最有效。