4.设总体X具有分布律如下,其中 theta (0lt theta lt 1) 为未知参数.已知取得了样本值-|||-_(1)=1, _(2)=2 _(3)=1. 试求θ的矩估计值和极大似然估计值.-|||-x 1 2-|||-p θ^2 20(1-θ) (1-θ)^2

步骤 1：计算总体X的期望
总体X的期望为：
$E(X) = 1 \times \theta^2 + 2 \times 2\theta(1-\theta) + 3 \times (1-\theta)^2$
$= \theta^2 + 4\theta(1-\theta) + 3(1-\theta)^2$
$= \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2$
$= 3 - 2\theta$

步骤 2：求矩估计值
样本均值为：
$\bar{x} = \frac{1+2+1}{3} = \frac{4}{3}$
令总体期望等于样本均值，即：
$3 - 2\theta = \frac{4}{3}$
解得：
$\theta = \frac{5}{6}$

步骤 3：求极大似然估计值
似然函数为：
$L(\theta) = \theta^2 \times 2\theta(1-\theta) \times \theta^2$
$= 2\theta^5(1-\theta)$
对似然函数取对数，得：
$\ln L(\theta) = \ln(2\theta^5(1-\theta))$
$= \ln 2 + 5\ln\theta + \ln(1-\theta)$
对$\ln L(\theta)$求导，得：
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta}$
令导数等于0，得：
$\frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} = 0$
解得：
$\theta = \frac{5}{6}$