题目
设随机变量X,Y相互独立，X~N(1,2)，Y~N(3,4)，则P(X+Y≤4)=_____
设随机变量X,Y相互独立，X~N(1,2)，Y~N(3,4)，则P{X+Y≤4}=_____
题目解答
答案
0.5
解析
步骤 1：确定X和Y的分布
给定随机变量X和Y，其中X服从正态分布N(1,2)，Y服从正态分布N(3,4)。这意味着X的均值为1，方差为2；Y的均值为3，方差为4。
步骤 2：求X+Y的分布
由于X和Y相互独立，X+Y的均值为X和Y的均值之和，即μ_X+Y = μ_X + μ_Y = 1 + 3 = 4。X+Y的方差为X和Y的方差之和，即σ^2_X+Y = σ^2_X + σ^2_Y = 2 + 4 = 6。因此，X+Y服从正态分布N(4,6)。
步骤 3：计算P{X+Y≤4}
由于X+Y服从正态分布N(4,6)，我们要求的是X+Y小于等于其均值4的概率。对于任何正态分布，小于等于其均值的概率为0.5，因为正态分布是对称的，均值将分布分为相等的两部分。
给定随机变量X和Y，其中X服从正态分布N(1,2)，Y服从正态分布N(3,4)。这意味着X的均值为1，方差为2；Y的均值为3，方差为4。
步骤 2：求X+Y的分布
由于X和Y相互独立，X+Y的均值为X和Y的均值之和，即μ_X+Y = μ_X + μ_Y = 1 + 3 = 4。X+Y的方差为X和Y的方差之和，即σ^2_X+Y = σ^2_X + σ^2_Y = 2 + 4 = 6。因此，X+Y服从正态分布N(4,6)。
步骤 3：计算P{X+Y≤4}
由于X+Y服从正态分布N(4,6)，我们要求的是X+Y小于等于其均值4的概率。对于任何正态分布，小于等于其均值的概率为0.5，因为正态分布是对称的，均值将分布分为相等的两部分。