题目

16、设随机变量X与Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D(X+Y)和D(X-Y)。

题目解答

答案

解：由题可知 $D\left(X\right)=25,D\left(Y\right)=36,\rho_{XY}=0.4$

又因为 $D\left(X\pm Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)\pm2COV\left(X,Y\right)$

则 $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)+2COV\left(X,Y\right)$ $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)-2COV\left(X,Y\right)$

又因为 $\rho_{XY}=\frac{COV\left(X,Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}}$ ，则 $COV\left(X,Y\right)=12$

故 $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)+2COV\left(X,Y\right)=25+36+24=85$ $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)-2COV\left(X,Y\right)=25+36-24=37$

解析

步骤 1：确定方差和相关系数
已知随机变量X和Y的方差分别为$D(X)=25$和$D(Y)=36$，相关系数为$\rho_{XY}=0.4$。

步骤 2：计算协方差
根据相关系数的定义，$\rho_{XY}=\frac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，可以计算出协方差$COV(X,Y)$。
$COV(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=0.4\times\sqrt{25}\times\sqrt{36}=0.4\times5\times6=12$。

步骤 3：计算$D(X+Y)$和$D(X-Y)$
根据方差的性质，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y)$，$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X,Y)$。
将已知的方差和协方差代入上述公式，计算$D(X+Y)$和$D(X-Y)$。
$D(X+Y)=25+36+2\times12=25+36+24=85$，
$D(X-Y)=25+36-2\times12=25+36-24=37$。