题目
某单位设置一电话总机,共有200个电话分机,设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的。又设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?(其中_(0.90)=1.28)。
某单位设置一电话总机,共有200个电话分机,设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的。又设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?(其中
)。
题目解答
答案
解 每个电话分机使用外线次数服从
,200个电话分机使用外线次数服从
。设需要
条外线,则由中心极限定理知
由于,从而有
,从而
。
因此,至少需要14条外线才能以不低于90%的概率保证分机使用外线。
解析
步骤 1：定义随机变量
设每个电话分机使用外线通话的概率为$p=0.05$，则每个电话分机是否使用外线通话可以看作是一个伯努利试验，其中使用外线通话的概率为$p$，不使用外线通话的概率为$1-p$。设$Y$为200个电话分机中使用外线通话的分机数，则$Y$服从二项分布$Y \sim b(200, 0.05)$。
步骤 2：应用中心极限定理
由于$n=200$较大，根据中心极限定理，$Y$近似服从正态分布$N(np, np(1-p))$。其中，$np=200 \times 0.05=10$，$np(1-p)=200 \times 0.05 \times 0.95=9.5$。因此，$Y$近似服从$N(10, 9.5)$。
步骤 3：计算所需外线数量
设需要$a$条外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。则有$P\{Y \leqslant a\} \geqslant 0.9$。根据正态分布的性质，有$P\{Y \leqslant a\} = P\{\frac{Y-10}{\sqrt{9.5}} \leqslant \frac{a-10}{\sqrt{9.5}}\} \geqslant 0.9$。由于${Z}_{0.90}=1.28$，从而有$\frac{a-10}{\sqrt{9.5}} \geqslant 1.28$，从而$a \geqslant 10 + 1.28\sqrt{9.5} \approx 13.945$。
设每个电话分机使用外线通话的概率为$p=0.05$，则每个电话分机是否使用外线通话可以看作是一个伯努利试验，其中使用外线通话的概率为$p$，不使用外线通话的概率为$1-p$。设$Y$为200个电话分机中使用外线通话的分机数，则$Y$服从二项分布$Y \sim b(200, 0.05)$。
步骤 2：应用中心极限定理
由于$n=200$较大，根据中心极限定理，$Y$近似服从正态分布$N(np, np(1-p))$。其中，$np=200 \times 0.05=10$，$np(1-p)=200 \times 0.05 \times 0.95=9.5$。因此，$Y$近似服从$N(10, 9.5)$。
步骤 3：计算所需外线数量
设需要$a$条外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。则有$P\{Y \leqslant a\} \geqslant 0.9$。根据正态分布的性质，有$P\{Y \leqslant a\} = P\{\frac{Y-10}{\sqrt{9.5}} \leqslant \frac{a-10}{\sqrt{9.5}}\} \geqslant 0.9$。由于${Z}_{0.90}=1.28$，从而有$\frac{a-10}{\sqrt{9.5}} \geqslant 1.28$，从而$a \geqslant 10 + 1.28\sqrt{9.5} \approx 13.945$。