某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为l00g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量(单位：g)如下：每包重量(g) 包数-|||-.sim 98 + 2-|||-sim 100 , 3-|||-sim 102 , 34-|||-.sim 104 , 7-|||-sim 106 44^3-|||-合计 50已知食品包重量服从正态分布，要求：(1)确定该种食品平均重量的95%的置信区间。(2)如果规定食品重量低于l00g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。

题目考察知识和解题思路

本题主要考察了参数估计的相关知识，包括正态分布下总体均值和总体比率的置信区间计算，具体思路如下：

（1）确定该种食品平均重量的95%置信区间

步骤1：判断统计量类型

题目中食品包重量服从正态分布，样本量$n=50$（大样本），总体方差未知，因此使用用样本标准差$s$代替总体标准差$\sigma$，采用$z$统计量（标准正态分布）。

步骤2：计算样本均值$\bar{x}$

根据分组数据计算均值：

• 每组组中值：$96\sim98$取97，\98\sim100)取99，\100\sim102)取101，\102\sim104)取103，\104\sim106)取105
• 样本均值公式：
  $\bar{x} = \frac{\sum (组中值\times包数}{n} = \frac{97\times2 + 99\times3 + 101\times34 + 103\times7 + 105\times4}{50} = 101.4$

步骤3：计算样本标准差$s$

根据分组数据计算样本标准差：
$s = \sqrt{\frac{\sum(组中值-\bar{x})^2\times包数}{n-1}} \approx 1.829$

步骤4：确定置信区间

• 置信水平$1-\alpha=0.95$，$\alpha/2=0.025$，查标准正态分布表得$z_{\alpha/2}=1.96$
• 置信区间公式：
  $\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$
• 代入数据：
  $101.4 \pm 1.96\times\frac{1.829}{\sqrt{50}} \approx 101.4\pm0.51$
• 最终置信区间：$(100.89, 101.91)$

（2）确定该批食品合格率的95%置信区间

步骤1：定义合格率$合格率p$

不合格品为重量低于100g的包数：$96\sim98$（2包）和$98\sim100$（3包），共$2+3=5$包

• 合格率$p=\frac{合格数}{n}=\frac{50-5}{50}=0.9$

步骤2：判断统计量类型

大样本下，总体比率$\pi$的置信区间用$z$统计量，公式为：
$p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

步骤3：计算置信区间

• $z_{\alpha/2}=1.96$，$p=0.9$，$n=50$
  $0.9\pm1.96\sqrt{\frac{0.9\times0.1}{50}}\approx0.9\pm0.0892$
• 最终置信区间：$(0.8108, 0.9682)$