题目
设 X_1, X_2, dotsc , X_n 独立同分布，E(X_i)= mu ，D(X_i)= sigma^2，(i=1,2, dotsc ,n)，当 n ge 50时，下列结论中错误的是()。 A. sum_(i=1)^n X_i近似服从 N(n mu, n sigma^2)分布； B. sum_{i=1)^n X_i - n mu } / sqrt(n)sigma近似服从 N(0,1)分布； C. X_1 + X_2服从 N(2mu, 2sigma^2)分布； D. sum_(i=1)^n X_i不近似服从 N(0,1)分布。
$$ 设 $X\_1, X\_2, \dotsc , X\_n $独立同分布，$E(X\_i)= \mu $，$D(X\_i)= \sigma^2$，$(i=1,2, \dotsc ,n)$，当 $n \ge 50$时，下列结论中错误的是()。 $$
- A. $$ $\sum_{i=1}^{n}\ \ X\_i$近似服从 $N(n \mu, n \sigma^2)$分布； $$
- B. $$ $\{ \sum_{i=1}^{n}\ \ X\_i - n \mu \}\ \ / \sqrt{n}\sigma$近似服从 $N(0,1)$分布； $$
- C. $$ $X\_1\ \ + X\_2$服从 $N(2\mu, 2\sigma^2)$分布； $$
- D. $$ $\sum_{i=1}^{n}\ \ X\_i$不近似服从 $N(0,1)$分布。 $$
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解题目背景
题目给出 $X_1, X_2, \dotsc , X_n$ 是独立同分布的随机变量，且 $E(X_i)= \mu $，$D(X_i)= \sigma^2$。当 $n \ge 50$ 时，根据中心极限定理，这些随机变量的和近似服从正态分布。
步骤 2：分析选项 A
根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$\sum_{i=1}^{n} X_i$ 近似服从 $N(n \mu, n \sigma^2)$ 分布。因此，选项 A 是正确的。
步骤 3：分析选项 B
根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n \mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 近似服从 $N(0,1)$ 分布。因此，选项 B 是正确的。
步骤 4：分析选项 C
$X_1 + X_2$ 服从 $N(2\mu, 2\sigma^2)$ 分布的前提是 $X_1$ 和 $X_2$ 服从正态分布。题目中没有给出 $X_i$ 服从正态分布的条件，因此不能确定 $X_1 + X_2$ 服从 $N(2\mu, 2\sigma^2)$ 分布。因此，选项 C 是错误的。
步骤 5：分析选项 D
根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$\sum_{i=1}^{n} X_i$ 近似服从 $N(n \mu, n \sigma^2)$ 分布，而不是 $N(0,1)$ 分布。因此，选项 D 是正确的。
题目给出 $X_1, X_2, \dotsc , X_n$ 是独立同分布的随机变量，且 $E(X_i)= \mu $，$D(X_i)= \sigma^2$。当 $n \ge 50$ 时，根据中心极限定理，这些随机变量的和近似服从正态分布。
步骤 2：分析选项 A
根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$\sum_{i=1}^{n} X_i$ 近似服从 $N(n \mu, n \sigma^2)$ 分布。因此，选项 A 是正确的。
步骤 3：分析选项 B
根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n \mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 近似服从 $N(0,1)$ 分布。因此，选项 B 是正确的。
步骤 4：分析选项 C
$X_1 + X_2$ 服从 $N(2\mu, 2\sigma^2)$ 分布的前提是 $X_1$ 和 $X_2$ 服从正态分布。题目中没有给出 $X_i$ 服从正态分布的条件，因此不能确定 $X_1 + X_2$ 服从 $N(2\mu, 2\sigma^2)$ 分布。因此，选项 C 是错误的。
步骤 5：分析选项 D
根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$\sum_{i=1}^{n} X_i$ 近似服从 $N(n \mu, n \sigma^2)$ 分布，而不是 $N(0,1)$ 分布。因此，选项 D 是正确的。