题目

(填空题)5.一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动_(1)=7cos (2t+dfrac (pi )(3))cm ,_(1)=7cos (2t+dfrac (pi )(3))cm则合振动的振幅为( )cm.

(填空题)5.一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动 $x_1=7\cos(2t+\frac{\pi}{3})_{cm}$ , $x_2=5\cos(2t+\frac{4\pi}{3})_{cm,}$

则合振动的振幅为( )cm.

题目解答

答案

先将两个简谐振动的表达式写成标准形式：

$x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)$ ，

其中 $A_1 = 7cm$ ， $\varphi_1=\frac{\pi}{3}$ 。

$x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$ ，

其中 $A_2=5cm$ ， $\varphi_2=\frac{4\pi}{3}$ 。

求合振动的振幅：

根据矢量合成的方法，合振动的振幅 $A=\sqrt{A_1^{2}+A_2^{2}+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}$ 。

代入数值可得： $A=\sqrt{7^{2}+5^{2}+2\times7\times5\cos(\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{3})}$

先计算 $\cos(\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{3})=\cos\pi=-1$ 。

则 $A=\sqrt{7^2+5^2+2\times7\times5\times(-1)}$ $=\sqrt{49+25-70}=\sqrt{4}=2$ 。

所以合振动的振幅为2cm。

故答案是2。

解析

考查要点：本题主要考查同频率简谐振动的合成，特别是如何计算合振动的振幅。

解题核心思路：
当两个同频率的简谐振动在同一直线上合成时，合振动的振幅由两个分振动的振幅及其相位差决定。需利用矢量合成公式，结合相位差计算最终振幅。

破题关键点：

确定相位差：计算两个分振动的相位差 $\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1$。
应用振幅合成公式：
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta \varphi)}$
代入数据计算：注意相位差 $\cos \pi = -1$ 的特殊值简化运算。

步骤1：确定分振动参数

分振动1：$x_1 = 7\cos\left(2t + \dfrac{\pi}{3}\right)$，振幅 $A_1 = 7\ \text{cm}$，初相 $\varphi_1 = \dfrac{\pi}{3}$。
分振动2：$x_2 = 5\cos\left(2t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$，振幅 $A_2 = 5\ \text{cm}$，初相 $\varphi_2 = \dfrac{4\pi}{3}$。

步骤2：计算相位差

相位差 $\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = \dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \pi$。

步骤3：代入振幅合成公式

合振幅公式为：
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta \varphi)}$
代入数据：
$A = \sqrt{7^2 + 5^2 + 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos \pi}$
由于 $\cos \pi = -1$，化简得：
$A = \sqrt{49 + 25 - 70} = \sqrt{4} = 2\ \text{cm}.$