用一台自动包装机包装葡萄糖，假定在正常情况下，糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明，标准差为15克.现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497、506、518、511、524、510、488、515、512。问包装机标准差有无变化？（α＝0.05）

本题考查正态总体方差的假设检验。解题思路如下：

1. 提出假设：根据题目要求，我们要检验包装机标准差有无变化，也就是检验总体方差是否等于已知的方差$\sigma_0^2$。所以原假设$H_0$为总体方差等于$15^2$，备择假设$H_1$为总体方差不等于$15^2$。
2. 选取统计量：对于正态总体$N(\mu,\sigma^2)$，当$\mu$未知时，选取统计量$\chi^2=\frac{(n - 1)S^2}{\sigma_0^2}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{\sigma_0^2}$，其中$n$是样本容量，$S^2$是样本方差，$\overline{X}$是样本均值，$\sigma_0^2$是原假设中的总体方差。当$H_0$成立时，该统计量服从自由度为$n - 1$的$\chi^2$分布，即$\chi^2\sim\chi^2(n - 1)$。
3. 确定临界值：给定显著性水平$\alpha = 0.05$，由于是双侧检验，我们需要查找$\chi^2$分布的两个临界值$\lambda_1$和$\lambda_2$，使得$P(\chi^2<\lambda_1)=\frac{\alpha}{2}$，$P(\chi^2>\lambda_2)=\frac{\alpha}{2}$。
4. 计算样本统计量的值：根据样本数据计算样本均值$\overline{X}$和$\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，进而计算出统计量$\chi^2$的值。
5. 做出决策：将计算得到的$\chi^2$值与临界值$\lambda_1$和$\lambda_2$进行比较。如果$\lambda_1<\chi^2<\lambda_2$，则接受原假设$H_0$；否则，拒绝原假设$H_0$。

下面进行详细计算：

1. 计算样本均值$\overline{X}$：
   已知样本数据为$497$、$506$、$518$、$511$、$524$、$510$、$488$、$515$、$512$，样本容量$n = 9$。
   根据样本均值公式$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，可得：
   $\overline{X}=\frac{497 + 506 + 518 + 511 + 524 + 510 + 488 + 515 + 512}{9}=\frac{4581}{9}=509$
2. 计算$\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$：
   $\sum_{i = 1}^{9}(X_i - 509)^2=(497 - 509)^2+(506 - 509)^2+(518 - 509)^2+(511 - 509)^2+(524 - 509)^2+(510 - 509)^2+(488 - 509)^2+(515 - 509)^2+(512 - 509)^2$
   $=(-12)^2+(-3)^2+9^2+2^2+15^2+1^2+(-21)^2+6^2+3^2$
   $=144 + 9 + 81 + 4 + 225 + 1 + 441 + 36 + 9$
   $=950$
3. 计算统计量$\chi^2$的值：
   已知$\sigma_0^2 = 15^2$，$n = 9$，$\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 = 950$，代入统计量公式$\chi^2=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{\sigma_0^2}$，可得：
   $\chi^2=\frac{950}{15^2}=\frac{950}{225}\approx4.2$
4. 确定临界值：
   自由度$n - 1 = 9 - 1 = 8$，$\alpha = 0.05$，则$\frac{\alpha}{2}=0.025$，$1 - \frac{\alpha}{2}=0.975$。
   查$\chi^2$分布临界值表得$\lambda_1=\chi_{1 - \frac{\alpha}{2}}^2(n - 1)=\chi_{0.975}^2(8)=2.18$，$\lambda_2=\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n - 1)=\chi_{0.025}^2(8)=17.535$。
5. 做出决策：
   因为$2.18<4.2<17.535$，即$\lambda_1<\chi^2<\lambda_2$，所以接受原假设$H_0$，即不能认为标准差有显著变化。