题目

计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则，为简单计，现对小数点后第一位进行舍入运算，则误差X可以认为服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，若在一项计算中进行了100次的舍入运算，利用中心极限定理可得误差总和的绝对值不超过5sqrt(3)的概率.(phi(3)=0.9987,phi(2)=0.9772)

计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则，为简单计，现对小数点后第一位进行舍入运算，则误差X可以认为服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，若在一项计算中进行了100次的舍入运算，利用中心极限定理可得误差总和的绝对值不超过$5\sqrt{3}$的概率. ($\phi(3)=0.9987$,$\phi(2)=0.9772$)

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用中心极限定理来找到100次舍入运算的误差总和的绝对值不超过 $5\sqrt{3}$ 的概率。 首先，我们定义单次舍入运算的误差 $X_i$。每个 $X_i$ 服从 $[-0.5, 0.5]$ 上的均匀分布。均匀分布的均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 分别为： \[ \mu = \frac{-0.5 + 0.5}{2} = 0 \] \[ \sigma^2 = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12} \] 设 $S$ 为100次舍入运算的误差总和： \[ S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100} \] 根据中心极限定理，对于大量独立同分布的随机变量，它们的和 $S$ 近似服从正态分布 $N(n\mu, n\sigma^2)$。这里，$n = 100$，$\mu = 0$，$\sigma^2 = \frac{1}{12}$，因此 $S$ 近似服从 $N(0, \frac{100}{12})$，即 $N(0, \frac{25}{3})$。 我们需要找到 $|S| \leq 5\sqrt{3}$ 的概率。这等价于找到 $-5\sqrt{3} \leq S \leq 5\sqrt{3}$ 的概率。为了使用标准正态分布表，我们对 $S$ 进行标准化： \[ Z = \frac{S - 0}{\sqrt{\frac{25}{3}}} = \frac{S}{\frac{5}{\sqrt{3}}} = \frac{S\sqrt{3}}{5} \] 我们希望找到： \[ P(-5\sqrt{3} \leq S \leq 5\sqrt{3}) = P\left(\frac{-5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{5} \leq Z \leq \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{5}\right) = P(-3 \leq Z \leq 3) \] 使用标准正态分布表，我们知道： \[ P(Z \leq 3) = \phi(3) = 0.9987 \] \[ P(Z \leq -3) = 1 - \phi(3) = 1 - 0.9987 = 0.0013 \] 因此： \[ P(-3 \leq Z \leq 3) = \phi(3) - P(Z \leq -3) = 0.9987 - 0.0013 = 0.9974 \] 所以，误差总和的绝对值不超过 $5\sqrt{3}$ 的概率是： \[ \boxed{0.9974} \]

解析

本题考查均匀分布的期望与方差计算以及中心极限定理的应用。解题思路如下：

  1. 首先，根据均匀分布的性质，计算出单次舍入运算误差$X_i$的期望$\mu$和方差$\sigma^2$。
    • 对于均匀分布$U(a,b)$，其期望公式为$\mu=\frac{a + b}{2}$，方差公式为$\sigma^2=\frac{(b - a)^2}{12}$。
    • 已知$X_i$服从$[-0.5,0.5]$上的均匀分布，即$a=-0.5$，$b = 0.5$。
    • 计算期望$\mu$：
      • 根据公式$\mu=\frac{-0.5 + 0.5}{2}=0$。
    • 计算方差$\sigma^2$：
      • 根据公式$\sigma^2=\frac{(0.5-(-0.5))^2}{12}=\frac{1^2}{12}=\frac{1}{12}$。
  2. 然后，设$S$为$100$次舍入运算的误差总和，即$S = X_1+X_2+\cdots+X_{100}$。
    • 根据中心极限定理，对于大量独立同分布的随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$，它们的和$S$近似服从正态分布$N(n\mu,n\sigma^2)$。
    • 这里$n = 100$，$\mu = 0$，$\sigma^2=\frac{1}{12}$，所以$S$近似服从$N(100\times0,100\times\frac{1}{12})$，即$N(0,\frac{25}{3})$。
  3. 接着，我们需要求$\vert S\vert\leq5\sqrt{3}$的概率，也就是求$-5\sqrt{3}\leq S\leq5\sqrt{3}$的概率。
    • 为了使用标准正态分布表，对$S$进行标准化，令$Z=\frac{S - \mu}{\sqrt{\sigma^2}}$，这里$\mu = 0$，$\sigma^2=\frac{25}{3}$，则$Z=\frac{S-0}{\sqrt{\frac{25}{3}}}=\frac{S}{\frac{5}{\sqrt{3}}}=\frac{S\sqrt{3}}{5}$。
    • 当$S=-5\sqrt{3}$时，$Z=\frac{-5\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{5}=\frac{-15}{5}=-3$；当$S = 5\sqrt{3}$时，$Z=\frac{5\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{5}=\frac{15}{5}=3$。
    • 所以$P(-5\sqrt{3}\leq S\leq5\sqrt{3})=P(-3\leq Z\leq3)$。
  4. 最后，根据标准正态分布的性质计算$P(-3\leq Z\leq3)$。
    • 已知标准正态分布函数$\varPhi(z)=P(Z\leq z)$，则$P(-3\leq Z\leq3)=\varPhi(3)-\varPhi(-3)$。
    • 又因为$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi(-3)=1-\varPhi(3)$。
    • 已知$\varPhi(3)=0.9987$，则$P(-3\leq Z\leq3)=\varPhi(3)-(1 - \varPhi(3))=2\varPhi(3)-1$。
    • 代入$\varPhi(3)=0.9987$，可得$P(-3\leq Z\leq3)=2\times0.9987 - 1=0.9974$。