一批电子元件的寿命服从期望值为的指数分布,其中未知,从中随机抽取50只,测得平均寿命为200(单位:h),求的置信水平为95% 的单侧置信下限。

考查要点：本题主要考查指数分布参数的单侧置信区间构造，涉及中心极限定理的应用及枢轴量法的运用。

解题核心思路：

1. 利用中心极限定理：由于样本量较大（n=50），指数分布的样本均值近似服从正态分布。
2. 构造枢轴量：通过标准化样本均值构造服从标准正态分布的枢轴量。
3. 解不等式求置信下限：根据置信水平确定分位数，通过代数变形得到θ的单侧置信下限表达式。

破题关键点：

• 正确标准化样本均值：注意分母为θ/√n，而非样本均值的估计值。
• 不等式变形方向：确保在解不等式时符号方向正确，最终得到θ的下限表达式。

步骤1：确定样本均值的分布

根据中心极限定理，当n=50时，样本均值$\overline{X}$近似服从正态分布：
$\overline{X} \sim N\left(\theta, \frac{\theta^2}{n}\right)$

步骤2：构造枢轴量

标准化样本均值，构造枢轴量：
$Z = \frac{\overline{X} - \theta}{\theta / \sqrt{n}}$
该枢轴量服从标准正态分布$N(0,1)$。

步骤3：确定分位数并建立不等式

置信水平为95%，对应左侧分位数$z_\alpha = z_{0.05} = 1.645$，有：
$P\left( Z \leq z_\alpha \right) = 1 - \alpha$
即：
$P\left( \frac{\overline{X} - \theta}{\theta / \sqrt{n}} \leq 1.645 \right) = 0.95$

步骤4：解不等式求θ的下限

将不等式变形：
$\overline{X} - \theta \leq \frac{\theta \cdot z_\alpha}{\sqrt{n}}$
整理得：
$\theta \geq \frac{\overline{X}}{1 + \frac{z_\alpha}{\sqrt{n}}}$

步骤5：代入数据计算

代入$\overline{X}=200$，$z_{0.05}=1.645$，$n=50$：
$\theta_{\text{下限}} = \frac{200}{1 + \frac{1.645}{\sqrt{50}}} \approx \frac{200}{1 + 0.2325} \approx 162.25$