题目
4.设二维随机变量(X,Y)服从N(1,1,4,9,(1)/(2))，求Cov(X,Y).
4.设二维随机变量(X,Y)服从$N(1,1,4,9,\frac{1}{2})$，求Cov(X,Y).
题目解答
答案
已知二维正态分布参数为 $N(1, 1, 4, 9, \frac{1}{2})$，其中 $\sigma_1^2 = 4$，$\sigma_2^2 = 9$，相关系数 $\rho = \frac{1}{2}$。
协方差与相关系数的关系为：
\[
\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}
\]
代入已知值：
\[
\frac{1}{2} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{4} \sqrt{9}} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{2 \times 3}
\]
解得：
\[
\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{2} \times 6 = 3
\]
**答案：** $\boxed{3}$
解析
考查要点：本题主要考查二维正态分布中协方差的计算，需要掌握相关系数与协方差之间的转换关系。
解题核心思路：
在二维正态分布中，相关系数 $\rho$ 是协方差与两个变量标准差乘积的比值。因此，已知相关系数 $\rho$ 和方差时，可通过公式反推出协方差。
破题关键点：
- 明确二维正态分布参数的含义：参数依次为 $E(X)$, $E(Y)$, $D(X)$, $D(Y)$, $\rho$。
- 利用公式 $\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$ 变形求解协方差。
已知二维正态分布参数为 $N(1, 1, 4, 9, \frac{1}{2})$，其中：
- $E(X) = 1$，$E(Y) = 1$
- $D(X) = 4$，$D(Y) = 9$
- 相关系数 $\rho = \frac{1}{2}$
根据相关系数与协方差的关系：
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$
将已知值代入公式：
$\frac{1}{2} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{9}} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{2 \times 3}$
解得：
$\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{2} \times 6 = 3$