题目
【题目】设随机变量X的方差D(X)=16,随机变量Y的方差D(Y)=25,又知X与Y的相关系数 ρ_(xy)=0.5 ,求D(X+Y)与D(X-Y).
【题目】设随机变量X的方差D(X)=16,随机变量Y的方差D(Y)=25,又知X与Y的相关系数 ρ_(xy)=0.5 ,求D(X+Y)与D(X-Y).
题目解答
答案
【解析】解 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cosY(X,Y)=D(X)+D(Y)+2√(D(X))√(D(Y))ρ_(XY) =16+25+2*4*5*0.5=61 ,D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cosY(X,Y) =D(X)+D(Y)-2√(D(X))√(D(Y))P_(XY) =16+25-2*4*5*0.5=21
解析
步骤 1：计算D(X+Y)
根据方差的性质，D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。协方差Cov(X,Y)可以通过相关系数ρ_(xy)和标准差σ_X、σ_Y来计算，即Cov(X,Y) = ρ_(xy) * σ_X * σ_Y。由于D(X) = σ_X^2，D(Y) = σ_Y^2，所以σ_X = √D(X) = 4，σ_Y = √D(Y) = 5。因此，Cov(X,Y) = 0.5 * 4 * 5 = 10。所以，D(X+Y) = 16 + 25 + 2 * 10 = 61。
步骤 2：计算D(X-Y)
根据方差的性质，D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。使用步骤1中计算的Cov(X,Y) = 10，所以D(X-Y) = 16 + 25 - 2 * 10 = 21。
根据方差的性质，D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。协方差Cov(X,Y)可以通过相关系数ρ_(xy)和标准差σ_X、σ_Y来计算，即Cov(X,Y) = ρ_(xy) * σ_X * σ_Y。由于D(X) = σ_X^2，D(Y) = σ_Y^2，所以σ_X = √D(X) = 4，σ_Y = √D(Y) = 5。因此，Cov(X,Y) = 0.5 * 4 * 5 = 10。所以，D(X+Y) = 16 + 25 + 2 * 10 = 61。
步骤 2：计算D(X-Y)
根据方差的性质，D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。使用步骤1中计算的Cov(X,Y) = 10，所以D(X-Y) = 16 + 25 - 2 * 10 = 21。