题目
两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X（单位：mm）表示轴的直径，随机变量Y（单位：mm）表示轴衬的内径，已知X~N（50，0.32），Y~N（52，0.42），显然X与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在1~3mm之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率
两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X（单位：mm）表示轴的直径，随机变量Y（单位：mm）表示轴衬的内径，已知X~N（50，0.32），Y~N（52，0.42），显然X与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在1~3mm之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率
题目解答
答案
解析
本题考查正态分布的性质以及独立随机变量线性组合的分布，解题的关键在于先确定轴衬内径与轴直径之差这个新随机变量的分布，再通过标准化变换将其转化为标准正态分布来计算概率。
- 确定新随机变量的分布：
- 设$Z = Y - X$，因为$X$与$Y$相互独立，且若$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^{2})$，那么对于独立的$X$和$Y$，$aX + bY$服从正态分布$N(a\mu_1 + b\mu_2,a^{2}\sigma_1^{2}+b^{2}\sigma_2^{2})$。
- 在本题中$a=-1$，$b = 1$，$\mu_1 = 50$，$\sigma_1^{2}=0.3^{2}$，$\mu_2 = 52$，$\sigma_2^{2}=0.4^{2}$。
- 则$Z = Y - X$服从正态分布$N(1\times52+(-1)\times50,1^{2}\times0.4^{2}+(-1)^{2}\times0.3^{2})$。
- 计算均值：$1\times52+(-1)\times50=52 - 50 = 2$。
- 计算方差：$1^{2}\times0.4^{2}+(-1)^{2}\times0.3^{2}=0.16 + 0.09 = 0.25=0.5^{2}$。
- 所以$Z\sim N(2,0.5^{2})$。
- 进行标准化变换：
- 已知当$1\leqslant Z = Y - X\leqslant 3$时，轴与轴衬可以配套使用，要求$P(1\leqslant Z\leqslant 3)$。
- 对于正态分布$Z\sim N(\mu,\sigma^{2})$，可通过标准化变换$U=\frac{Z - \mu}{\sigma}$将其转化为标准正态分布$U\sim N(0,1)$，其中$\mu = 2$，$\sigma = 0.5$。
- 则$P(1\leqslant Z\leqslant 3)=P(\frac{1 - 2}{0.5}\leqslant\frac{Z - 2}{0.5}\leqslant\frac{3 - 2}{0.5})$。
- 计算$\frac{1 - 2}{0.5}=\frac{-1}{0.5}=-2$，$\frac{3 - 2}{0.5}=\frac{1}{0.5}=2$。
- 所以$P(1\leqslant Z\leqslant 3)=P(-2\leqslant\frac{Z - 2}{0.5}\leqslant2)$。
- 利用标准正态分布的性质计算概率：
- 设$U=\frac{Z - 2}{0.5}$，则$U\sim N(0,1)$，$P(-2\leqslant\frac{Z - 2}{0.5}\leqslant2)=\varPhi(2)-\varPhi(-2)$。
- 根据标准正态分布的性质$\varPhi(-x)=1-\varPhi(x)$，则$\varPhi(2)-\varPhi(-2)=\varPhi(2)-(1 - \varPhi(2))=2\varPhi(2)-1$。
- 已知$\varPhi(2)=0.9772$，则$2\varPhi(2)-1=2\times0.9772 - 1=1.9544 - 1 = 0.9544$。