题目
1.设X1,X2,X3 X4是来自正态总体 sim N(0,4) 的样本,问:a,b取何值时,随机变量-|||-=a(({X)_(1)-2(X)_(2))}^2+b((3{X)_(3)-4(X)_(4))}^2sim (X)^2(n) 并确定n的值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定正态分布的性质
给定 $X \sim N(0,4)$，即 $X$ 是均值为0，方差为4的正态分布。样本 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 都是独立同分布的，因此它们的线性组合也是正态分布。
步骤 2：计算线性组合的方差
对于 $X_1 - 2X_2$，其方差为 $Var(X_1 - 2X_2) = Var(X_1) + 4Var(X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20$。
对于 $3X_3 - 4X_4$，其方差为 $Var(3X_3 - 4X_4) = 9Var(X_3) + 16Var(X_4) = 9 \times 4 + 16 \times 4 = 100$。
步骤 3：确定 $Y$ 的分布
要使 $Y = a(X_1 - 2X_2)^2 + b(3X_3 - 4X_4)^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布，需要 $a(X_1 - 2X_2)^2$ 和 $b(3X_3 - 4X_4)^2$ 分别服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$a$ 和 $b$ 应该是方差的倒数，即 $a = \frac{1}{20}$，$b = \frac{1}{100}$。这样，$Y$ 就是两个独立的 $\chi^2(1)$ 分布的和，因此 $Y \sim \chi^2(2)$。
给定 $X \sim N(0,4)$，即 $X$ 是均值为0，方差为4的正态分布。样本 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 都是独立同分布的，因此它们的线性组合也是正态分布。
步骤 2：计算线性组合的方差
对于 $X_1 - 2X_2$，其方差为 $Var(X_1 - 2X_2) = Var(X_1) + 4Var(X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20$。
对于 $3X_3 - 4X_4$，其方差为 $Var(3X_3 - 4X_4) = 9Var(X_3) + 16Var(X_4) = 9 \times 4 + 16 \times 4 = 100$。
步骤 3：确定 $Y$ 的分布
要使 $Y = a(X_1 - 2X_2)^2 + b(3X_3 - 4X_4)^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布，需要 $a(X_1 - 2X_2)^2$ 和 $b(3X_3 - 4X_4)^2$ 分别服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$a$ 和 $b$ 应该是方差的倒数，即 $a = \frac{1}{20}$，$b = \frac{1}{100}$。这样，$Y$ 就是两个独立的 $\chi^2(1)$ 分布的和，因此 $Y \sim \chi^2(2)$。