16/40单选题(2分)函数f(x)=1/x在x=0处()。A. 不连续B. 连续C. 可导D. 可微

本题考查函数在某点的连续性、可导性与可微性的的判断。解题思路是根据函数连续性、可导性与可微性的定义，分别判断函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x = 0$处的连续性、可导性与可微性。

1. 判断函数在$x = 0$处的连续性

函数$y = f(x)$在点$x_0$处连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
对于函数$f(x)=\frac{1}{x}$，其定义域为$x\neq0$，即$f(0$无不存在。
根据极限的计算，$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x}= + \infty}$，$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty$，左右极限不存在。
由于函数在$x = 0$处无定义且极限不存在，不满足函数连续的定义，所以函数$在\(x = 0$处不连续。

2. 判断函数在$x = 0$处的可导性

函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导的定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。
由于函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x = 0$处不连续，所以不满足可导的前提条件，函数在$x = 0$处不可导。

3. 判断函数数在$x = 0$处的可微性

函数$y = f(x)$在点$x_0$处可微的充要条件是函数在该点可导。
由于函数在$x = 0$处不可导，所以函数在$x = 0$处不可微。