题目
已知随机 变量 X 与 Y 的相关系数(rho )_(xy)=0.5，且(rho )_(xy)=0.5__________.
已知随机 变量 X 与 Y 的相关系数
，且
__________.
题目解答
答案
所以答案为7.
解析
步骤 1：理解方差和协方差的关系
方差的性质之一是：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，其中$Cov(X,Y)$是X和Y的协方差。
步骤 2：利用相关系数计算协方差
已知相关系数${\rho }_{xy}=0.5$，且$D(X)=4$，$D(Y)=1$。根据相关系数的定义，${\rho }_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，可以计算出$Cov(X,Y)=\rho_{xy}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=0.5\times\sqrt{4}\times\sqrt{1}=1$。
步骤 3：计算$D(X+Y)$
将$D(X)=4$，$D(Y)=1$，$Cov(X,Y)=1$代入$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，得到$D(X+Y)=4+1+2\times1=7$。
方差的性质之一是：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，其中$Cov(X,Y)$是X和Y的协方差。
步骤 2：利用相关系数计算协方差
已知相关系数${\rho }_{xy}=0.5$，且$D(X)=4$，$D(Y)=1$。根据相关系数的定义，${\rho }_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，可以计算出$Cov(X,Y)=\rho_{xy}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=0.5\times\sqrt{4}\times\sqrt{1}=1$。
步骤 3：计算$D(X+Y)$
将$D(X)=4$，$D(Y)=1$，$Cov(X,Y)=1$代入$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，得到$D(X+Y)=4+1+2\times1=7$。