题目
5.（30.0分）某保险公司多年的统计资料表明，在赔付客户中因被盗赔付的客户占20%，用ξ表示在随机抽取的100个赔付客户中因被盗赔付的客户数，试用中心极限定理求因被盗而赔付的客户数在16到28户的概率。（Phi(1)=0.8413，Phi(2)=0.9772，Phi(1.125)=0.8697，Phi(2.125)=0.9832）
5.（30.0分）
某保险公司多年的统计资料表明，在赔付客户中因被盗赔付的客户占20%，用ξ表示在随机抽取的100个赔付客户中因被盗赔付的客户数，试用中心极限定理求因被盗而赔付的客户数在16到28户的概率。
（$\Phi(1)=0.8413$，$\Phi(2)=0.9772$，$\Phi(1.125)=0.8697$，$\Phi(2.125)=0.9832$）
题目解答
答案
设 $\xi$ 表示因被盗赔付的客户数，服从二项分布 $B(100, 0.2)$。期望 $E(\xi) = np = 20$，方差 $D(\xi) = np(1-p) = 16$。
由中心极限定理，$\xi$ 近似服从正态分布 $N(20, 16)$。
标准化得 $Z = \frac{\xi - 20}{4}$，求 $P(15.5 \leq \xi \leq 28.5)$（考虑连续性校正）：
\[
P\left(-1.125 \leq Z \leq 2.125\right) = \Phi(2.125) - \Phi(-1.125) = 0.9832 - (1 - 0.8697) = 0.8529
\]
**答案：** $\boxed{0.8529}$
解析
步骤 1：确定随机变量ξ的分布
设 $\xi$ 表示因被盗赔付的客户数，根据题意，$\xi$ 服从二项分布 $B(100, 0.2)$，其中 $n=100$，$p=0.2$。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $E(\xi) = np = 100 \times 0.2 = 20$，方差 $D(\xi) = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 $n$ 较大，根据中心极限定理，$\xi$ 近似服从正态分布 $N(20, 16)$。标准化得 $Z = \frac{\xi - 20}{4}$。
步骤 4：计算概率
求 $P(15.5 \leq \xi \leq 28.5)$（考虑连续性校正）：
\[ P\left(-1.125 \leq Z \leq 2.125\right) = \Phi(2.125) - \Phi(-1.125) = 0.9832 - (1 - 0.8697) = 0.8529 \]
设 $\xi$ 表示因被盗赔付的客户数，根据题意，$\xi$ 服从二项分布 $B(100, 0.2)$，其中 $n=100$，$p=0.2$。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $E(\xi) = np = 100 \times 0.2 = 20$，方差 $D(\xi) = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 $n$ 较大，根据中心极限定理，$\xi$ 近似服从正态分布 $N(20, 16)$。标准化得 $Z = \frac{\xi - 20}{4}$。
步骤 4：计算概率
求 $P(15.5 \leq \xi \leq 28.5)$（考虑连续性校正）：
\[ P\left(-1.125 \leq Z \leq 2.125\right) = \Phi(2.125) - \Phi(-1.125) = 0.9832 - (1 - 0.8697) = 0.8529 \]