练习2 (2022,1)*设A,B为n阶矩阵,且Ax=0与Bx=0同解,证明}A&BO&By=0同解.
题目解答
答案
设 $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$，其中 $y_1, y_2 \in \mathbb{R}^n$。
方程1： $\begin{bmatrix} A & B \\ O & B \end{bmatrix} y = 0$
$\begin{cases}A y_1 + B y_2 = 0 \\B y_2 = 0\end{cases}$
由 $B y_2 = 0$，得 $y_2 \in N(B)$，且因 $N(A) = N(B)$，有 $A y_2 = 0$。代入得 $A y_1 = 0$，解集为 $y_1, y_2 \in N(A)$。
方程2： $\begin{bmatrix} B & A \\ O & A \end{bmatrix} y = 0$
$\begin{cases}B y_1 + A y_2 = 0 \\A y_2 = 0\end{cases}$
由 $A y_2 = 0$，得 $y_2 \in N(A)$，且因 $N(A) = N(B)$，有 $B y_2 = 0$。代入得 $B y_1 = 0$，解集为 $y_1, y_2 \in N(B)$，即 $y_1, y_2 \in N(A)$。
结论： 两方程解集相同，故同解。
$\boxed{\begin{bmatrix} A & B \\ O & B \end{bmatrix} y = 0 \text{ 与 } \begin{bmatrix} B & A \\ O & A \end{bmatrix} y = 0 \text{ 同解}}$
解析
本题考查齐次线性方程组同解的证明，解题的关键思路是分别求出两个方程组的解空间，然后根据已知条件$Ax = 0$与$Bx = 0$同解，即它们的解空间相同（$N(A)=N(B)$），来证明两个方程组的解空间也相同。
1. 分析方程$\begin{bmatrix}A&B\\O&B\end{bmatrix}y = 0$的解
设$y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$，其中$y_1,y_2\in\mathbb{R}^n$。
将$y$代入方程$\begin{bmatrix}A&B\\O&B\end{bmatrix}y = 0$，根据矩阵乘法规则可得：
$\begin{bmatrix}A&B\\O&B\end{bmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}Ay_1 + By_2\\By_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
这等价于方程组$\begin{cases}Ay_1 + By_2 = 0\\By_2 = 0\end{cases}$。
由$By_2 = 0$可知$y_2$是齐次线性方程组$Bx = 0$的解，即$y_2\in N(B)$。
因为已知$Ax = 0$与$Bx = 0$同解，所以$N(A)=N(B)$，那么$y_2$也满足$Ay_2 = 0$。
将$Ay_2 = 0$代入$Ay_1 + By_2 = 0$，可得$Ay_1 = 0$，这表明$y_1$是齐次线性方程组$Ax = 0$的解，即$y_1\in N(A)$。
所以方程$\begin{bmatrix}A&B\\O&B\end{bmatrix}y = 0$的解$y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$满足$y_1,y_2\in N(A)$。
2. 分析方程$\begin{bmatrix}B&A\\O&A\end{bmatrix}y = 0$的解
同样设$y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$，将其代入方程$\begin{bmatrix}B&A\\O&A\end{bmatrix}y = 0$，根据矩阵乘法规则可得：
$\begin{bmatrix}B&A\\O&A\end{bmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}By_1 + Ay_2\\Ay_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
这等价于方程组$\begin{cases}By_1 + Ay_2 = 0\\Ay_2 = 0\end{cases}$。
由$Ay_2 = 0$可知$y_2$是齐次线性方程组$Ax = 0$的解，即$y_2\in N(A)$。
因为$N(A)=N(B)$，所以$y_2$也满足$By_2 = 0$。
将$By_2 = 0$代入$By_1 + Ay_2 = 0$，可得$By_1 = 0$，这表明$y_1$是齐次线性方程组$Bx = 0$的解，即$y_1\in N(B)$。
又因为$N(A)=N(B)$，所以$y_1\in N(A)$。
所以方程$\begin{bmatrix}B&A\\O&A\end{bmatrix}y = 0$的解$y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$满足$y_1,y_2\in N(A)$。
3. 得出结论
由于两个方程的解都满足$y_1,y_2\in N(A)$，即它们的解空间相同，所以$\begin{bmatrix}A&B\\O&B\end{bmatrix}y = 0$与$\begin{bmatrix}B&A\\O&A\end{bmatrix}y = 0$同解。