题目

4 设随机变量X与Y相互独立，且Xsim N(1,2)，Ysim N(1,4)，求D(XY).

4 设随机变量X与Y相互独立，且$X\sim N(1,2)$，$Y\sim N(1,4)$，求$D(XY)$.

题目解答

答案

为了求解随机变量 $X$ 和 $Y$ 的乘积的方差 $D(XY)$，我们首先需要使用方差的公式。对于任意两个随机变量 $X$ 和 $Y$，它们乘积的方差可以表示为： \[D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2\] 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们有 $E(XY) = E(X)E(Y)$。因此，上式可以改写为： \[D(XY) = E[(XY)^2] - [E(X)E(Y)]^2\] 首先，我们需要计算 $E(X)$、$E(Y)$、$E(X^2)$ 和 $E(Y^2)$。已知 $X \sim N(1, 2)$ 和 $Y \sim N(1, 4)$，我们有： \[E(X) = 1, \quad D(X) = 2, \quad E(Y) = 1, \quad D(Y) = 4\] 方差与期望的关系是 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，所以我们可以求得： \[E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 1^2 = 3\] \[E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 4 + 1^2 = 5\] 现在，我们可以计算 $E[(XY)^2]$。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们有： \[E[(XY)^2] = E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2) = 3 \cdot 5 = 15\] 接下来，我们计算 $[E(X)E(Y)]^2$： \[[E(X)E(Y)]^2 = [1 \cdot 1]^2 = 1\] Finally, we get: \[D(XY) = E[(XY)^2] - [E(X)E(Y)]^2 = 15 - 1 = 14\] 因此，随机变量 $XY$ 的方差是 $\boxed{14}$。

解析

本题考查正态分布的期望和方差性质以及随机变量乘积的方差公式。解题思路是先根据方差公式$D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2$，再利用随机变量$X$与$Y$相互独立的性质$E(XY) = E(X)E(Y)$和$E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2)$，结合正态分布的期望和方差已知条件，逐步计算出$E(X)$、$E(Y)$、$E(X^2)$、$E(Y^2)$、$E[(XY)^2]$和$[E(X)E(Y)]^2$的值，最后代入方差公式求出$D(XY)$。

  1. 明确方差公式：
    • 对于任意两个随机变量$X$和$Y$，它们乘积的方差公式为$D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2$。
    • 因为$X$和$Y$相互独立，根据独立随机变量的性质，有$E(XY) = E(X)E(Y)$，所以$D(XY) = E[(XY)^2] - [E(X)E(Y)]^2$。
  2. 计算$E(X)$、$E(Y)$、$E(X^2)$和$E(Y^2)$：
    • 已知$X\sim N(1,2)$，$Y\sim N(1,4)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的性质，其中$\mu$为期望，$\sigma^2$为方差，可得$E(X) = 1$，$D(X) = 2$，$E(Y) = 1$，$D(Y) = 4$。
    • 根据方差与期望的关系$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，移项可得$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$，将$E(X) = 1$，$D(X) = 2$代入可得：
      • $E(X^2)=2 + 1^2=3$。
    • 同理，$E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2$，将$E(Y) = 1$，$D(Y) = 4$代入可得：
      • $E(Y^2)=4 + 1^2=5$。
  3. 计算$E[(XY)^2]$：
    • 因为$X$和$Y$相互独立，所以$E[(XY)^2]=E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)$。
    • 将$E(X^2)=3$，$E(Y^2)=5$代入可得：
      • $E[(XY)^2]=3\times5 = 15$。
  4. 计算$[E(X)E(Y)]^2$：
    • 已知$E(X) = 1$，$E(Y) = 1$，则$[E(X)E(Y)]^2=[1\times1]^2 = 1$。
  5. 计算$D(XY)$：
    • 将$E[(XY)^2]=15$，$[E(X)E(Y)]^2 = 1$代入$D(XY) = E[(XY)^2] - [E(X)E(Y)]^2$可得：
      • $D(XY)=15 - 1 = 14\的token数量为1001。$