题目
样本容量为n时，样本方差S^2是总体方差sigma^2的无偏估计量，这是因为（）A. ES^2 = sigma^2B. ES^2 = (sigma^2)/(n)C. S^2 = sigma^2D. S^2 approx sigma^2
样本容量为$n$时，样本方差$S^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计量，这是因为（）
A. $ES^2 = \sigma^2$
B. $ES^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
C. $S^2 = \sigma^2$
D. $S^2 \approx \sigma^2$
题目解答
答案
A. $ES^2 = \sigma^2$
解析
步骤 1：定义样本方差
样本方差 $S^2$ 的定义为： \[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \] 其中，$X_i$ 是样本中的第 $i$ 个观测值，$\bar{X}$ 是样本均值，$n$ 是样本容量。
步骤 2：计算样本方差的期望值
计算期望值： \[ E(S^2) = E\left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = \frac{1}{n-1} E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] \]
步骤 3：利用期望性质
利用期望的性质，可以展开并简化： \[ E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = (n-1)\sigma^2 \] 其中，$\sigma^2$ 是总体方差。
步骤 4：得出结论
因此，样本方差的期望值为： \[ E(S^2) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)\sigma^2 = \sigma^2 \] 这表明样本方差 $S^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量。
样本方差 $S^2$ 的定义为： \[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \] 其中，$X_i$ 是样本中的第 $i$ 个观测值，$\bar{X}$ 是样本均值，$n$ 是样本容量。
步骤 2：计算样本方差的期望值
计算期望值： \[ E(S^2) = E\left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = \frac{1}{n-1} E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] \]
步骤 3：利用期望性质
利用期望的性质，可以展开并简化： \[ E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = (n-1)\sigma^2 \] 其中，$\sigma^2$ 是总体方差。
步骤 4：得出结论
因此，样本方差的期望值为： \[ E(S^2) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)\sigma^2 = \sigma^2 \] 这表明样本方差 $S^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量。