题目
由来自正态总体X～N(μ,0.92)、容量为9的简单随机样本，得样本均值为5，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___。（μ0.025=1.96，μ0.05=1.645）隐藏答案
由来自正态总体X～N(μ,0.92)、容量为9的简单随机样本，得样本均值为5，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___。（μ0.025=1.96，μ0.05=1.645）
隐藏答案
题目解答
答案
[4.412,5.588]
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
置信区间公式为：\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(z_{\alpha/2}\) 是标准正态分布的临界值，\(\sigma\) 是总体标准差，\(n\) 是样本容量。
步骤 2：代入已知数值
已知样本均值 \(\bar{x} = 5\)，总体标准差 \(\sigma = 0.9\)，样本容量 \(n = 9\)，置信度为 0.95，因此 \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)，临界值 \(z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96\)。
步骤 3：计算置信区间的上下限
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{9}} \]
\[ = 5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{3} \]
\[ = 5 \pm 1.96 \cdot 0.3 \]
\[ = 5 \pm 0.588 \]
\[ = [4.412, 5.588] \]
置信区间公式为：\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(z_{\alpha/2}\) 是标准正态分布的临界值，\(\sigma\) 是总体标准差，\(n\) 是样本容量。
步骤 2：代入已知数值
已知样本均值 \(\bar{x} = 5\)，总体标准差 \(\sigma = 0.9\)，样本容量 \(n = 9\)，置信度为 0.95，因此 \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)，临界值 \(z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96\)。
步骤 3：计算置信区间的上下限
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{9}} \]
\[ = 5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{3} \]
\[ = 5 \pm 1.96 \cdot 0.3 \]
\[ = 5 \pm 0.588 \]
\[ = [4.412, 5.588] \]