题目

4填空题-|||-(1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4,则 E(X)= __ D(X)=_。-|||-__-|||-(2)已知随机变量X的分布函数为 F(x)= { ,0lt xleqslant 4 1,xgt 4+5)= __-|||-(3)某新产品在未来市场上的占有率X是仅在区间(0,1 )上取值的随机变量,它的密度函数为

题目解答

答案

解析

  1. 第（1）题：考查二项分布的期望与方差。核心公式为：

    • 期望 $E(X) = np$
    • 方差 $D(X) = np(1-p)$
      直接代入参数即可求解。

  2. 第（2）题：

    • 分布函数分析：随机变量 $X$ 服从均匀分布 $U(0,4)$，概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{4}$（$0 < x \leq 4$）。
    • 期望与方差：均匀分布的期望 $E(X) = \frac{a+b}{2}$，方差 $D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$。
    • 线性变换：利用 $E(aX^2 + bX) = aE(X^2) + bE(X)$，结合 $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$ 计算。

  3. 第（3）题：

    • 离散型期望与方差：直接根据分布律计算 $E(X)$ 和 $E(X^2)$，再通过线性性质求 $E(3X^2 + 5)$。

第（1）题

二项分布参数

已知 $n=10$，$p=0.4$，代入公式：

  • 期望：$E(X) = 10 \times 0.4 = 4$
  • 方差：$D(X) = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4$

第（2）题

均匀分布的期望与方差

  • 期望：$E(X) = \frac{0 + 4}{2} = 2$
  • 方差：$D(X) = \frac{(4-0)^2}{12} = \frac{4}{3}$

计算 $E(3X^2 - 2X)$

  1. 计算 $E(X^2)$：
    $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = \frac{4}{3} + 2^2 = \frac{16}{3}$
  2. 代入线性性质：
    $E(3X^2 - 2X) = 3 \cdot \frac{16}{3} - 2 \cdot 2 = 16 - 4 = 12$

第（3）题

根据分布律计算期望

  • $E(X)$：
    $E(X) = (-2) \times 0.4 + 0 \times 0.3 + 2 \times 0.3 = -0.8 + 0 + 0.6 = -0.2$
  • $E(X^2)$：
    $E(X^2) = (-2)^2 \times 0.4 + 0^2 \times 0.3 + 2^2 \times 0.3 = 1.6 + 0 + 1.2 = 2.8$
  • $E(3X^2 + 5)$：
    $E(3X^2 + 5) = 3 \times 2.8 + 5 = 8.4 + 5 = 13.4$