设总体 X sim N(mu, sigma^2)，sigma^2 已知，则 mu 的置信区间长度 L(）A. 随 alpha 的增大而增大B. 随 alpha 的增大而减小C. 与 alpha 无关D. 与 alpha 的关系不确定

考查要点：本题主要考查置信区间长度与显著性水平$\alpha$的关系，需要理解置信区间公式的构成及其影响因素。

解题核心思路：

1. 明确置信区间长度的计算公式，识别其中的关键变量。
2. 分析关键变量（标准正态分布分位数$z_{\alpha/2}$）随$\alpha$的变化规律。
3. 结合公式推导出置信区间长度$L$与$\alpha$的单调性关系。

破题关键点：

• 公式推导：置信区间长度$L = 2 z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的上$\alpha/2$分位数。
• 分位数特性：当$\alpha$增大时，$\alpha/2$增大，对应的$z_{\alpha/2}$减小，因此$L$随$\alpha$增大而减小。

对于总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$且$\sigma^2$已知，$\mu$的双侧置信区间为：
$\left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$
其中，$\bar{X}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的上$\alpha/2$分位数，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。

置信区间长度$L$的计算公式：
$L = 2 z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

关键分析：

1. 分位数$z_{\alpha/2}$的性质：
   • 当$\alpha$增大时，$\alpha/2$增大，对应的$z_{\alpha/2}$减小。例如：
     • $\alpha = 0.05$时，$z_{0.025} \approx 1.96$；
     • $\alpha = 0.1$时，$z_{0.05} \approx 1.645$。
2. 长度$L$与$\alpha$的关系：
   • $L$与$z_{\alpha/2}$成正比，而$z_{\alpha/2}$随$\alpha$增大而减小，因此$L$随$\alpha$增大而减小。