题目
某型号电子元件的寿命X的密度函数为：f(x)= {a)^-dfrac (1{6)}x, gt 0,leqslant leqslant 0 .最大似然估计值.
某型号电子元件的寿命X的密度函数为：
0}_{0,x\le 0} \right." data-width="175" data-height="80" data-size="4012" data-format="png" style="max-width:100%">，其中
0" data-width="48" data-height="20" data-size="835" data-format="png" style="max-width:100%">为未知参数，
为选自总体的一组样本，
（1）求
的矩估计量；（2）在
时，求最大似然估计值.
题目解答
答案
（1）随机变量X服从参数
的指数分布，则X的数学期望为
，
样本均值为
，令
，则的矩估计量为
；
（2）参数的似然函数为
0" data-width="516" data-height="62" data-size="8525" data-format="png" style="max-width:100%">，似然函数取对数，则
0" data-width="351" data-height="62" data-size="5739" data-format="png" style="max-width:100%">，似然函数对参数求偏导，则
，令
，则最大似然估计值为
.
解析
步骤 1：求矩估计量
随机变量X服从参数$\lambda =\dfrac {1}{\theta }$的指数分布，则X的数学期望为$(X)=\dfrac {1}{\lambda }=\dfrac {1}{\dfrac {1}{\theta }}=\theta $，
样本均值为$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，令$(x)=\overline {X}$，则的矩估计量为$\hat {y}=\overline {X}$；
步骤 2：求最大似然估计值
参数的似然函数为${I}_{1}({x}_{i}i\theta )=\sum _{i=1}^{n}f({x}_{i})=\overset {n}{I}\dfrac {1}{{I}_{1}}\dfrac {1}{{e}^{-\dfrac {1}{e}}{x}_{i}}=\dfrac {1}{{e}^{n$ $\sum _{i=1}^{n}{e}^{-\dfrac {1}{\theta }}{x}_{i}$ ${x}_{i}\gt 0$0" data-width="516" data-height="62" data-size="8525" data-format="png" style="max-width:100%">，似然函数取对数，则$nI({x}_{i},\theta )=-n\ln \theta -\dfrac {1}{\theta }\sum _{i=1}^{n}{x}_{i=1}$ ${x}_{i}\gt 0$0" data-width="351" data-height="62" data-size="5739" data-format="png" style="max-width:100%">，似然函数对参数求偏导，则$\dfrac {\partial \ln L({x}_{i}i\theta )}{\partial \theta }=-\dfrac {n}{\theta }+\dfrac {1}{{\theta }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{x}_{i=1}{x}_{i-1}$，令$\dfrac {\partial \ln L(xi\theta )}{\partial \theta }=0$，则最大似然估计值为$=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{\sum }_{i=1}^{5}{\sum }_{i=1}^{5}(168+170+169+172-171)=170$.
随机变量X服从参数$\lambda =\dfrac {1}{\theta }$的指数分布，则X的数学期望为$(X)=\dfrac {1}{\lambda }=\dfrac {1}{\dfrac {1}{\theta }}=\theta $，
样本均值为$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，令$(x)=\overline {X}$，则的矩估计量为$\hat {y}=\overline {X}$；
步骤 2：求最大似然估计值
参数的似然函数为${I}_{1}({x}_{i}i\theta )=\sum _{i=1}^{n}f({x}_{i})=\overset {n}{I}\dfrac {1}{{I}_{1}}\dfrac {1}{{e}^{-\dfrac {1}{e}}{x}_{i}}=\dfrac {1}{{e}^{n$ $\sum _{i=1}^{n}{e}^{-\dfrac {1}{\theta }}{x}_{i}$ ${x}_{i}\gt 0$0" data-width="516" data-height="62" data-size="8525" data-format="png" style="max-width:100%">，似然函数取对数，则$nI({x}_{i},\theta )=-n\ln \theta -\dfrac {1}{\theta }\sum _{i=1}^{n}{x}_{i=1}$ ${x}_{i}\gt 0$0" data-width="351" data-height="62" data-size="5739" data-format="png" style="max-width:100%">，似然函数对参数求偏导，则$\dfrac {\partial \ln L({x}_{i}i\theta )}{\partial \theta }=-\dfrac {n}{\theta }+\dfrac {1}{{\theta }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{x}_{i=1}{x}_{i-1}$，令$\dfrac {\partial \ln L(xi\theta )}{\partial \theta }=0$，则最大似然估计值为$=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{\sum }_{i=1}^{5}{\sum }_{i=1}^{5}(168+170+169+172-171)=170$.