题目

二、单选题（共10题，50.0分）18.（单选题，5.0分）函数f(x)=(x-1)/(x^2)+5x-6的间断点是（）A x=1，x=-6B x=6C x=-1，x=6D x=-1，x=1，x=6

二、单选题（共10题，50.0分） 18.（单选题，5.0分） 函数$f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+5x-6}$的间断点是（） A x=1，x=-6 B x=6 C x=-1，x=6 D x=-1，x=1，x=6

题目解答

答案

函数 $ f(x) = \frac{x-1}{x^2 + 5x - 6} $ 的分母为 $ x^2 + 5x - 6 = (x+6)(x-1) $。 分母为零时函数无定义，解方程 $ (x+6)(x-1) = 0 $ 得 $ x = -6 $ 或 $ x = 1 $。 尽管分子 $ x-1 $ 与分母有公因式，但 $ x = 1 $ 仍为间断点（可去间断点），$ x = -6 $ 为无穷间断点。 因此，间断点为 $ x = 1 $ 和 $ x = -6 $。 答案：$\boxed{A}$

解析

本题考查函数间断点的知识，解题思路是先找出函数分母为零的点，这些点就是函数的间断点。

  1. 首先对函数$f(x)=\frac{x - 1}{x^{2}+5x - 6}$的分母进行因式分解：
    • $x^{2}+5x - 6=(x + 6)(x - 1)$。
  2. 然后令分母$(x + 6)(x - 1)=0$，求解方程：
    • 根据乘法法则，要使乘积乘积为$0$，则至少有一个因子为$0$，即$x + 6 = 0$或$x - 1 = 0$。
    • 解得$x=-6$或$x = 1$。
  3. 尽管分子$x - - 1$与分母有公因式，但$x = 1$仍为间断点（可去间断点），$可去间断点是指函数在该点处极限存在，但函数在该点处无定义)，\(x = -6$为无穷间断点。
  4. 所以函数$f(x)$的间断点为$x = 1$和$x = -6$。