题目
设X_1,...,X_n为来自总体N(mu,sigma^2)的一个样本，csum_(i=1)^n-1(X_(i+1)-X_i)^2为sigma^2的无偏估计，则常数c=。A. (1)/(2(n-1))B. (1)/(2n)C. (1)/((n-1))D. (1)/(n)
设$X_1,...,X_n$为来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的一个样本，$c\sum_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_i)^2$为$\sigma^2$的无偏估计，则常数$c=$。
A. $\frac{1}{2(n-1)}$
B. $\frac{1}{2n}$
C. $\frac{1}{(n-1)}$
D. $\frac{1}{n}$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{2(n-1)}$
解析
步骤 1：确定差值的分布
由于 $X_1, \cdots, X_n$ 来自正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，则 $X_{i+1} - X_i$ 也服从正态分布，且均值为 $0$，方差为 $2\sigma^2$。因此，$X_{i+1} - X_i \sim N(0, 2\sigma^2)$。
步骤 2：计算差值平方的期望
计算 $X_{i+1} - X_i$ 的平方的期望值：\[ E[(X_{i+1} - X_i)^2] = 2\sigma^2 \]
步骤 3：求和并确定无偏估计条件
对所有 $i$ 求和：\[ E\left[ \sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2 \right] = 2(n-1)\sigma^2 \] 为使 $c \sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计，需满足：\[ c \cdot 2(n-1)\sigma^2 = \sigma^2 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{1}{2(n-1)} \]
由于 $X_1, \cdots, X_n$ 来自正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，则 $X_{i+1} - X_i$ 也服从正态分布，且均值为 $0$，方差为 $2\sigma^2$。因此，$X_{i+1} - X_i \sim N(0, 2\sigma^2)$。
步骤 2：计算差值平方的期望
计算 $X_{i+1} - X_i$ 的平方的期望值：\[ E[(X_{i+1} - X_i)^2] = 2\sigma^2 \]
步骤 3：求和并确定无偏估计条件
对所有 $i$ 求和：\[ E\left[ \sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2 \right] = 2(n-1)\sigma^2 \] 为使 $c \sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计，需满足：\[ c \cdot 2(n-1)\sigma^2 = \sigma^2 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{1}{2(n-1)} \]