如图所示,一球形电容器,内球壳半径为R1,外球壳半径为R2 (R2<R1),其间充有相对介电常数分别为r1和r2的两层各向同性均匀电介质(r2=r1 / 2),其界面半径为R.若两种电介质的击穿电场强度相同,问:(1) 当电压升高时,哪层介质先击穿?(2) 该电容器能承受多高的电压?

考查要点：本题主要考查球形电容器中电介质的击穿条件及电容器耐压问题，涉及电位移、场强分布、电势差的计算。

解题核心思路：

1. 场强分布：利用高斯定理求出各层介质中的场强，确定最大场强的位置。
2. 击穿条件：比较两层介质中的最大场强，场强先达到击穿电场的介质先击穿。
3. 耐压计算：当外层介质达到击穿场强时，计算此时的电荷量，再积分场强求总电压。

破题关键点：

• 场强最大值位置：在球对称电容器中，场强随半径减小而增大，因此每层介质的最大场强出现在其内表面。
• 介电常数关系：外层介质介电常数较小，导致其场强更大。
• 电压计算：需分段积分场强，注意介电分界面处的连续性。

第（1）题

确定场强表达式

内层介质（半径 $R_1 < r < R$）的场强为：
$E_1 = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r1 \, r^2}$
外层介质（半径 $R < r < R_2$）的场强为：
$E_2 = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r2 \, r^2}$

比较最大场强

• 内层最大场强：在内表面 $r=R_1$ 处：
  $E_{1\text{max}} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r1 \, R_1^2}$
• 外层最大场强：在内表面 $r=R$ 处：
  $E_{2\text{max}} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r2 \, R^2}$

代入介电常数关系

由 $\varepsilon_r2 = \varepsilon_r1/2$，得：
$E_{2\text{max}} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 (\varepsilon_r1/2) R^2} = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r1 R^2}$
比较 $E_{1\text{max}}$ 和 $E_{2\text{max}}$：
$\frac{E_{2\text{max}}}{E_{1\text{max}}} = \frac{R_1^2}{R^2/2} = \frac{2R_1^2}{R^2}$
若 $R < R_1\sqrt{2}$，则 $E_{2\text{max}} > E_{1\text{max}}$，外层介质先击穿。

第（2）题

最大电荷量

当外层介质击穿时，场强 $E_{2\text{max}} = E_M$，此时：
$Q_M = 4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r2 \, R E_M$

计算电压

总电压为两层介质中的电势差之和：
$U = \int_{R_1}^R E_1 \, dr + \int_R^{R_2} E_2 \, dr$
代入场强表达式并积分：
$U = \frac{Q_M}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r1} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R} \right) + \frac{Q_M}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r2} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_2} \right)$
化简后：
$U = \varepsilon_r2 R E_M \left( \frac{R - R_1}{\varepsilon_r1 R_1} + \frac{R_2 - R}{\varepsilon_r2 R_2} \right)$