11.(简答题) lim _(x arrow 1) ( sqrt (3-x)- sqrt (1+x))/(1-x^2) (写在纸上，拍照上传)
题目解答
答案
对分子有理化得：
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x}}{1-x^2} = \lim_{x \to 1} \frac{2(1-x)}{(1-x^2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{(1+x)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}$
代入 $x = 1$：
$\frac{2}{(1+1)(\sqrt{2} + \sqrt{2})} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
或使用洛必达法则，结果相同。
答案： $\boxed{\frac{\sqrt{2}}{4}}$
解析
考查要点：本题主要考查分式极限的求解方法，特别是处理0/0型不定式的技巧，如分子有理化或洛必达法则的应用。
解题核心思路：
当直接代入$x=1$导致分母和分子均为0时，需通过变形消除不定式。分子有理化通过乘以共轭表达式简化分式，而洛必达法则通过对分子分母分别求导求解。
破题关键点：
- 识别0/0型不定式，选择合适方法。
- 分子有理化后约分，将分式转化为可直接代入的形式。
- 代入计算时注意分母的展开和化简。
步骤1：分子有理化
将分子$\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x}$乘以共轭$\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x}$，分母同步乘以共轭：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x}}{1-x^2} &= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}{(1-x^2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})} \\&= \lim_{x \to 1} \frac{(3-x)-(1+x)}{(1-x^2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})} \\&= \lim_{x \to 1} \frac{2(1-x)}{(1-x^2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}.\end{aligned}$
步骤2：约分简化
分母$1-x^2$分解为$(1-x)(1+x)$，与分子中的$1-x$约分：
$\lim_{x \to 1} \frac{2}{(1+x)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}.$
步骤3：代入计算
将$x=1$代入化简后的表达式：
$\frac{2}{(1+1)(\sqrt{2} + \sqrt{2})} = \frac{2}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$