单选题 7.int(dx)/(e^x)+e^(-x)的结果是（）A. arctan e^x+CB. arctan e^-x+CC. e^x-e^-x+CD. ln(e^x+e^-x)+C

考查要点：本题主要考查不定积分的计算技巧，特别是通过变量替换将复杂积分转化为基本积分形式的能力，以及利用反三角函数积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 观察分母结构：分母为$e^x + e^{-x}$，可通过乘以$e^x$或$e^{-x}$进行变形，简化积分表达式。
2. 变量替换法：选择适当的替换变量（如$u = e^x$或$u = e^{-x}$），将积分转化为标准形式$\int \frac{du}{u^2 + 1}$，利用$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan u + C$求解。
3. 恒等式调整：通过反三角函数的恒等式（如$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$）统一不同替换方法得到的结果，确认最终形式。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量，将分母转化为$u^2 + 1$的形式。
• 注意积分结果的等价性，不同替换方法可能得到形式不同的结果，但可通过常数吸收差异。

步骤1：变量替换
令$u = e^x$，则$du = e^x dx$，即$dx = \frac{du}{u}$。原积分变为：
$\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \int \frac{e^x dx}{e^{2x} + 1} = \int \frac{du}{u^2 + 1}.$

步骤2：积分计算
根据基本积分公式$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan u + C$，得：
$\arctan u + C = \arctan e^x + C.$

步骤3：验证另一种替换方法
令$u = e^{-x}$，则$dx = -\frac{du}{u}$，原积分变为：
$\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = -\int \frac{du}{1 + u^2} = -\arctan u + C = -\arctan e^{-x} + C.$

步骤4：统一结果形式
利用恒等式$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$（$x > 0$），可得：
$-\arctan e^{-x} + C = \arctan e^x + C'.$
因此，两种替换方法的结果等价，最终答案为$\arctan e^x + C$。