题目
3.设A,B,C两两独立,且 =x, (A)=P(B)=P(C)lt dfrac (1)(2) ,A,-|||-B,C至少有一个发生的概率为 dfrac (9)(16), 则 P(A)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定事件A, B, C至少有一个发生的概率公式
事件A, B, C至少有一个发生的概率可以表示为 $P(A \cup B \cup C)$，根据概率论中的加法公式，有：
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$$
步骤 2：利用两两独立和 $ABC=\varnothing$ 的条件简化公式
由于A, B, C两两独立，所以有 $P(AB) = P(A)P(B)$，$P(AC) = P(A)P(C)$，$P(BC) = P(B)P(C)$。又因为 $ABC=\varnothing$，所以 $P(ABC) = 0$。因此，公式可以简化为：
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C)$$
步骤 3：代入已知条件求解
已知 $P(A) = P(B) = P(C) = p$，且 $P(A \cup B \cup C) = \dfrac{9}{16}$，代入简化后的公式，得到：
$$\dfrac{9}{16} = 3p - 3p^2$$
步骤 4：解方程求解p
解方程 $3p - 3p^2 = \dfrac{9}{16}$，得到：
$$3p^2 - 3p + \dfrac{9}{16} = 0$$
$$p^2 - p + \dfrac{3}{16} = 0$$
解这个一元二次方程，得到：
$$p = \dfrac{1}{4}$$
事件A, B, C至少有一个发生的概率可以表示为 $P(A \cup B \cup C)$，根据概率论中的加法公式，有：
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$$
步骤 2：利用两两独立和 $ABC=\varnothing$ 的条件简化公式
由于A, B, C两两独立，所以有 $P(AB) = P(A)P(B)$，$P(AC) = P(A)P(C)$，$P(BC) = P(B)P(C)$。又因为 $ABC=\varnothing$，所以 $P(ABC) = 0$。因此，公式可以简化为：
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C)$$
步骤 3：代入已知条件求解
已知 $P(A) = P(B) = P(C) = p$，且 $P(A \cup B \cup C) = \dfrac{9}{16}$，代入简化后的公式，得到：
$$\dfrac{9}{16} = 3p - 3p^2$$
步骤 4：解方程求解p
解方程 $3p - 3p^2 = \dfrac{9}{16}$，得到：
$$3p^2 - 3p + \dfrac{9}{16} = 0$$
$$p^2 - p + \dfrac{3}{16} = 0$$
解这个一元二次方程，得到：
$$p = \dfrac{1}{4}$$