题目
一批产品中含有废品,今从中随机抽取85只,发现废品5只.试用极大似然估计废品率。
一批产品中含有废品,今从中随机抽取85只,发现废品5只.试用极大似然估计废品率。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设废品率为 $p$，令 $X_i$ 为第 $i$ 件产品是否为废品的随机变量，其中 $X_i = 1$ 表示第 $i$ 件产品是废品，$X_i = 0$ 表示第 $i$ 件产品不是废品。则 $P(X_i = 1) = p$，$P(X_i = 0) = 1 - p$。
步骤 2：写出似然函数
似然函数 $L(p)$ 是在给定样本观测值的情况下，参数 $p$ 的函数。根据题意，我们有 $n = 85$ 个样本，其中 $k = 5$ 个是废品。因此，似然函数为：
$$
L(p) = p^k (1-p)^{n-k} = p^5 (1-p)^{80}
$$
步骤 3：求极大似然估计
为了找到使似然函数 $L(p)$ 最大的 $p$ 值，我们对 $L(p)$ 取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(p) = 5 \ln p + 80 \ln (1-p)
$$
对 $\ln L(p)$ 关于 $p$ 求导，并令导数等于零，得到：
$$
\frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{5}{p} - \frac{80}{1-p} = 0
$$
解这个方程，得到：
$$
\frac{5}{p} = \frac{80}{1-p} \Rightarrow 5(1-p) = 80p \Rightarrow 5 - 5p = 80p \Rightarrow 5 = 85p \Rightarrow p = \frac{5}{85} = \frac{1}{17}
$$
设废品率为 $p$，令 $X_i$ 为第 $i$ 件产品是否为废品的随机变量，其中 $X_i = 1$ 表示第 $i$ 件产品是废品，$X_i = 0$ 表示第 $i$ 件产品不是废品。则 $P(X_i = 1) = p$，$P(X_i = 0) = 1 - p$。
步骤 2：写出似然函数
似然函数 $L(p)$ 是在给定样本观测值的情况下，参数 $p$ 的函数。根据题意，我们有 $n = 85$ 个样本，其中 $k = 5$ 个是废品。因此，似然函数为：
$$
L(p) = p^k (1-p)^{n-k} = p^5 (1-p)^{80}
$$
步骤 3：求极大似然估计
为了找到使似然函数 $L(p)$ 最大的 $p$ 值，我们对 $L(p)$ 取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(p) = 5 \ln p + 80 \ln (1-p)
$$
对 $\ln L(p)$ 关于 $p$ 求导，并令导数等于零，得到：
$$
\frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{5}{p} - \frac{80}{1-p} = 0
$$
解这个方程，得到：
$$
\frac{5}{p} = \frac{80}{1-p} \Rightarrow 5(1-p) = 80p \Rightarrow 5 - 5p = 80p \Rightarrow 5 = 85p \Rightarrow p = \frac{5}{85} = \frac{1}{17}
$$