题目
学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的“自主学习”，包括预习，复习，归纳整理等等，现在人们普遍认为课后花的时间越多越好，某研究机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下统计数据，请根据表格回答问题： x 60 70 80 90 100 110 120 130 y 92 109 114 120 119 121 121 122 （1）请根据所给数据绘制散点图，并且从以下三个函数从①y=bx+a；②y=m⋅xk（m＞0，k＞0）：③y=cx2+dx+e三个函数中选择一个作为学习时间x和平均y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；（3）请根据此回归方程，阐述你对学习时长和成绩之间关系的看法．参考公式：回归方程y=hat(a)+hat(b)t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为hat(b)=((sum_{i=1)^n({x_i)}y-nbar(x)•bar(y)})/((sum_{i=1)^n{x_i^2-n{{bar{x)}^2}}}}，hat(a)=bar(y)-hat(b)bar(x)．参考数据：overline(lnx)≈4.52，overline(lny)≈4.74，sum_(i=1)^8({{ln)^2}}(x_i)≈164.18，sum_(i=1)^8(ln{x_i)ln(y_i)}≈171.64，(e^3.25)≈25.79
学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的“自主学习”，包括预习，复习，归纳整理等等，现在人们普遍认为课后花的时间越多越好，某研究机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下统计数据，请根据表格回答问题：
（1）请根据所给数据绘制散点图，并且从以下三个函数从①y=bx+a；②y=m⋅xk（m＞0，k＞0）：③y=cx2+dx+e三个函数中选择一个作为学习时间x和平均y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；
（3）请根据此回归方程，阐述你对学习时长和成绩之间关系的看法．
参考公式：回归方程$y=\hat{a}+\hat{b}t$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}}y-n\bar{x}•\bar{y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar{x}}^2}}}}，\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$．
参考数据：$\overline{lnx}≈4.52，\overline{lny}≈4.74，\sum_{i=1}^8{{{ln}^2}}{x_i}≈164.18，\sum_{i=1}^8{ln{x_i}ln{y_i}}≈171.64，{e^{3.25}}≈25.79$
| x | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 |
| y | 92 | 109 | 114 | 120 | 119 | 121 | 121 | 122 |
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；
（3）请根据此回归方程，阐述你对学习时长和成绩之间关系的看法．
参考公式：回归方程$y=\hat{a}+\hat{b}t$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}}y-n\bar{x}•\bar{y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar{x}}^2}}}}，\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$．
参考数据：$\overline{lnx}≈4.52，\overline{lny}≈4.74，\sum_{i=1}^8{{{ln}^2}}{x_i}≈164.18，\sum_{i=1}^8{ln{x_i}ln{y_i}}≈171.64，{e^{3.25}}≈25.79$
题目解答
答案
解：（1）根据表格数据，作出散点图，如图所示：
由图象得y=m⋅xk（m＞0，k＞0）最合适；
（2）由（1）得y=m⋅xk（m＞0，k＞0）最合适，则对y=m⋅xk（m＞0，k＞0）两边取以e为底的对数得lny=klnx+lnm，
设u=lnx，v=lny，则$\hat{v}=\hat{k}u+\hat{m}$，
∴$\hat{k}=\frac{{\sum_{i=1}^8{{u_i}{v_i}-8\overline{u}⋅\overline{v}}}}{{\sum_{i=1}^8{u_i^2-n{{\overline{u}}^2}}}}=\frac{{171.64-8×4.52×4.74}}{{164.18-8×{{4.52}^2}}}≈0.328≈0.33$，$lnm=\overline{v}-k\overline{u}=4.74-0.33×4.52≈3.25$，∴v=0.33u+3.25，
故lny=0.33lnx+3.25，即y=e3.25⋅x0.33=25.79x0.33，
∴$\hat{y}=25.79⋅{x^{0.33}}$；
（3）由（2）得$\hat{y}=25.79⋅{x^{0.33}}$，此回归方程为关于时间的增函数，说明随着学习时间的增加，学习成绩是提高的，但是函数的增速先快后慢，说明如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到120分左右时，想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法．
由图象得y=m⋅xk（m＞0，k＞0）最合适；
（2）由（1）得y=m⋅xk（m＞0，k＞0）最合适，则对y=m⋅xk（m＞0，k＞0）两边取以e为底的对数得lny=klnx+lnm，
设u=lnx，v=lny，则$\hat{v}=\hat{k}u+\hat{m}$，
∴$\hat{k}=\frac{{\sum_{i=1}^8{{u_i}{v_i}-8\overline{u}⋅\overline{v}}}}{{\sum_{i=1}^8{u_i^2-n{{\overline{u}}^2}}}}=\frac{{171.64-8×4.52×4.74}}{{164.18-8×{{4.52}^2}}}≈0.328≈0.33$，$lnm=\overline{v}-k\overline{u}=4.74-0.33×4.52≈3.25$，∴v=0.33u+3.25，
故lny=0.33lnx+3.25，即y=e3.25⋅x0.33=25.79x0.33，
∴$\hat{y}=25.79⋅{x^{0.33}}$；
（3）由（2）得$\hat{y}=25.79⋅{x^{0.33}}$，此回归方程为关于时间的增函数，说明随着学习时间的增加，学习成绩是提高的，但是函数的增速先快后慢，说明如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到120分左右时，想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法．