题目
判断题设(X_(1),X_(2),...,X_(n))是来自正态总体N(mu,sigma^2)的一个样本，则((1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i))^2是mu^2的无偏估计.A. 正确B. 错误
判断题
设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，则$(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i})^{2}$是$\mu^{2}$的无偏估计.
A. 正确
B. 错误
题目解答
答案
设 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，则 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。计算期望得：
\[
E[\overline{X}^2] = D(\overline{X}) + [E(\overline{X})]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2
\]
由于 $\sigma^2 \neq 0$ 时，$E[\overline{X}^2] \neq \mu^2$，故 $(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i})^{2}$ 不是 $\mu^2$ 的无偏估计。
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：定义样本均值
设 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，则 $\overline{X}$ 是样本均值，表示所有样本值的平均值。
步骤 2：确定样本均值的分布
由于 $(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的一个样本，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
步骤 3：计算样本均值平方的期望
计算 $\overline{X}^2$ 的期望值，即 $E[\overline{X}^2]$。根据方差的定义，有 $E[\overline{X}^2] = D(\overline{X}) + [E(\overline{X})]^2$。由于 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，则 $E(\overline{X}) = \mu$，$D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。因此，$E[\overline{X}^2] = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$。
步骤 4：判断是否为无偏估计
由于 $\sigma^2 \neq 0$ 时，$E[\overline{X}^2] \neq \mu^2$，所以 $(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i})^{2}$ 不是 $\mu^2$ 的无偏估计。
设 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，则 $\overline{X}$ 是样本均值，表示所有样本值的平均值。
步骤 2：确定样本均值的分布
由于 $(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的一个样本，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
步骤 3：计算样本均值平方的期望
计算 $\overline{X}^2$ 的期望值，即 $E[\overline{X}^2]$。根据方差的定义，有 $E[\overline{X}^2] = D(\overline{X}) + [E(\overline{X})]^2$。由于 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，则 $E(\overline{X}) = \mu$，$D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。因此，$E[\overline{X}^2] = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$。
步骤 4：判断是否为无偏估计
由于 $\sigma^2 \neq 0$ 时，$E[\overline{X}^2] \neq \mu^2$，所以 $(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i})^{2}$ 不是 $\mu^2$ 的无偏估计。