题目
在电源电压不超过200V、在200～240 V和超过240 V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从N(220，).试求：(1)该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200～240 V的概率β.
在电源电压不超过200V、在200～240 V和超过240 V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从N(220，
).试求：
(1)该电子元件损坏的概率α；
(2)该电子元件损坏时，电源电压在200～240 V的概率β.
题目解答
答案
解：设事件：
={电压不超过200 V}，
={电压在200～240V}，
={电压超过240 V}，B={电子元件损坏}.
由题得，X~N(220，)
∴P()=P(X≤200)=Φ(
)
=Φ(-0.8)
=1-Φ(0.8)
=0.212
同理的：
P()=P(200≤X ≤240)=Φ(0.8)- Φ(-0.8)
=0.576
P()=P(X＞240)=1-0.212-0.576
=0.212
(1)由题设条件得:
P(B|)=0.1，P(B|)=0.001，P(B|)=0.2
∴由全概率公式得：
P(B)=
=P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|)
=0.0642
∴α=P(B)=0.0642
(2)由贝叶斯公式得：
=
=
≈0.009
∴β=≈0.009
解析
步骤 1：定义事件
设事件：A1={电压不超过200 V}，A2={电压在200～240V}，A3={电压超过240 V}，B={电子元件损坏}。
步骤 2：计算各事件的概率
由题得，X~N(220，25^2)
∴P(A1)=P(X≤200)=Φ(200-220 25)
=Φ(-0.8)
=1-Φ(0.8)
=0.212
同理的：
P(A2)=P(200≤X ≤240)=Φ(0.8)- Φ(-0.8)
=0.576
P(A3)=P(X＞240)=1-0.212-0.576
=0.212
步骤 3：计算电子元件损坏的概率
由题设条件得:
P(B|A1)=0.1，P(B|A2)=0.001，P(B|A3)=0.2
∴由全概率公式得： P(B)=$\sum _{i=1}^{3}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})$
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.0642
∴α=P(B)=0.0642
步骤 4：计算电子元件损坏时，电源电压在200～240 V的概率
由贝叶斯公式得：
P(A2|B)=$\dfrac {P({A}_{2})P(B|{A}_{2})}{P(B)}$
=$0.576\times 0.001$ 0.0642
≈0.009
∴β=P(A2|B)≈0.009
设事件：A1={电压不超过200 V}，A2={电压在200～240V}，A3={电压超过240 V}，B={电子元件损坏}。
步骤 2：计算各事件的概率
由题得，X~N(220，25^2)
∴P(A1)=P(X≤200)=Φ(200-220 25)
=Φ(-0.8)
=1-Φ(0.8)
=0.212
同理的：
P(A2)=P(200≤X ≤240)=Φ(0.8)- Φ(-0.8)
=0.576
P(A3)=P(X＞240)=1-0.212-0.576
=0.212
步骤 3：计算电子元件损坏的概率
由题设条件得:
P(B|A1)=0.1，P(B|A2)=0.001，P(B|A3)=0.2
∴由全概率公式得： P(B)=$\sum _{i=1}^{3}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})$
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.0642
∴α=P(B)=0.0642
步骤 4：计算电子元件损坏时，电源电压在200～240 V的概率
由贝叶斯公式得：
P(A2|B)=$\dfrac {P({A}_{2})P(B|{A}_{2})}{P(B)}$
=$0.576\times 0.001$ 0.0642
≈0.009
∴β=P(A2|B)≈0.009