在无界均匀流场中放入一个圆柱，使圆柱轴线和来流方向垂直，则圆柱所受的阻力FD和圆柱底面半径FD,圆柱的长度FD,来流速度FD,流体的动力粘度FD和流体的密度FD有关，试根据量纲分析理论导出阻力的无量纲表达式。

步骤 1：确定各物理量的量纲
阻力的量纲为$[M{T}^{-2}]$。
圆柱底面半径的量纲为[L]。
圆柱长度的量纲为[L]。
来流速度的量纲为$[L{T}^{-1}]$。
流体动力粘度的量纲为$[M{L}^{-1}{T}^{-1}]$。
流体密度的量纲为$[M{L}^{-3}]$。
步骤 2：设阻力的无量纲表达式
设阻力的无量纲表达式为$\pi =\dfrac {{F}_{D}}{{d}^{3}r{v}^{8}{\mu }^{6}{\rho }^{5}}$。
步骤 3：将各物理量的量纲代入上式
将各物理量的量纲代入上式可得：$[M{T}^{-2}]^{0}{[L]^{3}{[L]^{8}{[L{T}^{-1}]}^{8}{[M{L}^{-1}{T}^{-1}]}^{6}{[M{L}^{-3}]}^{5}}$，即$[M^{\alpha +\beta +5}{L}^{\alpha +\beta +\gamma -\varepsilon -3\delta}{T}^{-2\alpha -8}-\delta]$。
步骤 4：建立方程组
因为无量纲量的量纲为$[0L0T0]$，所以可得方程组：
$\left \{ \begin{matrix} \alpha +\beta +5=0\\ \alpha +\beta +\gamma -\varepsilon -3\delta =0\\ -2\alpha -8-\delta =0\end{matrix} \right.$。
步骤 5：解方程组
解方程组，可取$\alpha =1$，则$\beta +\gamma =-1$，$\varepsilon +\delta =-1$，$\gamma =-2$。
步骤 6：确定无量纲表达式
设$\beta =1$，则$\gamma =-1$。所以无量纲表达式为$\pi =\dfrac {{F}_{D}}{\rho {v}^{2}{d}^{2}}$。