题目
42.设A为3阶实对称矩阵,且满足条件 ^2+2A=0, 已知A的秩 (A)=2.-|||-(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵 A+kE 为正定矩阵,其中E为3阶单位-|||-矩阵.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求矩阵A的特征值
由于A是实对称矩阵，它必可相似对角化。设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即 $Aa=\lambda a$ ，$a\neq 0$。那么， ${A}^{2}a={\lambda }^{2}a$ ，于是由 ${A}^{2}+2A=0$ 得 $({A}^{2}+2A)a=({\lambda }^{2}+2\lambda )a=0$ 。又因 $a\neq 0$ ，故 $\lambda =-2$ 或 $\lambda =0$ 。由于A的秩 r(A)=2，所以矩阵A的特征值为 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=-2$ ，${\lambda }_{3}=0$ 。
步骤 2：求矩阵 A+kE 为正定矩阵的条件
由于 A+kE 是对称矩阵，且由(1)知 A+kE 的特征值为 k-2，k-2，k。故 A+kE 正定的条件是 $\left \{ \begin{matrix} k-2\gt 0\\ k\gt 0.\end{matrix} \right.$ 。因此， $k\gt 2$ 时，矩阵 A+kE 为正定矩阵。
由于A是实对称矩阵，它必可相似对角化。设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即 $Aa=\lambda a$ ，$a\neq 0$。那么， ${A}^{2}a={\lambda }^{2}a$ ，于是由 ${A}^{2}+2A=0$ 得 $({A}^{2}+2A)a=({\lambda }^{2}+2\lambda )a=0$ 。又因 $a\neq 0$ ，故 $\lambda =-2$ 或 $\lambda =0$ 。由于A的秩 r(A)=2，所以矩阵A的特征值为 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=-2$ ，${\lambda }_{3}=0$ 。
步骤 2：求矩阵 A+kE 为正定矩阵的条件
由于 A+kE 是对称矩阵，且由(1)知 A+kE 的特征值为 k-2，k-2，k。故 A+kE 正定的条件是 $\left \{ \begin{matrix} k-2\gt 0\\ k\gt 0.\end{matrix} \right.$ 。因此， $k\gt 2$ 时，矩阵 A+kE 为正定矩阵。