题目
1.计算题（拍照上传）某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检察员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？已知Phi(1.25)=0.8944
1.计算题
（拍照上传）某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检察员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？已知
$\Phi(1.25)=0.8944$
题目解答
答案
设 $X$ 为100人中治愈人数，$X \sim \text{Binomial}(100, 0.8)$。近似为正态分布 $N(80, 16)$。
计算 $P(X > 75)$：
\[
Z = \frac{X - 80}{4}, \quad P(X > 75.5) = P\left(Z > -1.125\right) = P(Z < 1.125)
\]
已知 $\Phi(1.25) = 0.8944$，近似得：
\[
P(Z < 1.25) \approx 0.8944
\]
**答案：**
\[
\boxed{0.8944}
\]
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 为100人中治愈人数，$X \sim \text{Binomial}(100, 0.8)$。由于样本量较大，可以使用正态分布近似二项分布，即 $X \sim N(80, 16)$，其中均值 $\mu = 80$，方差 $\sigma^2 = 16$，标准差 $\sigma = 4$。
步骤 2：计算接受断言的概率
根据题意，若多于75人治愈，则接受断言。因此，需要计算 $P(X > 75)$。由于正态分布是连续的，而二项分布是离散的，所以需要进行连续性修正，即计算 $P(X > 75.5)$。将 $X$ 转换为标准正态分布 $Z$，有：
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 80}{4} \]
因此，$P(X > 75.5)$ 可以表示为：
\[ P(X > 75.5) = P\left(Z > \frac{75.5 - 80}{4}\right) = P(Z > -1.125) \]
由于标准正态分布的对称性，有：
\[ P(Z > -1.125) = P(Z < 1.125) \]
步骤 3：利用标准正态分布表
已知 $\Phi(1.25) = 0.8944$，而 $1.125$ 接近 $1.25$，因此可以近似认为：
\[ P(Z < 1.125) \approx 0.8944 \]
设 $X$ 为100人中治愈人数，$X \sim \text{Binomial}(100, 0.8)$。由于样本量较大，可以使用正态分布近似二项分布，即 $X \sim N(80, 16)$，其中均值 $\mu = 80$，方差 $\sigma^2 = 16$，标准差 $\sigma = 4$。
步骤 2：计算接受断言的概率
根据题意，若多于75人治愈，则接受断言。因此，需要计算 $P(X > 75)$。由于正态分布是连续的，而二项分布是离散的，所以需要进行连续性修正，即计算 $P(X > 75.5)$。将 $X$ 转换为标准正态分布 $Z$，有：
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 80}{4} \]
因此，$P(X > 75.5)$ 可以表示为：
\[ P(X > 75.5) = P\left(Z > \frac{75.5 - 80}{4}\right) = P(Z > -1.125) \]
由于标准正态分布的对称性，有：
\[ P(Z > -1.125) = P(Z < 1.125) \]
步骤 3：利用标准正态分布表
已知 $\Phi(1.25) = 0.8944$，而 $1.125$ 接近 $1.25$，因此可以近似认为：
\[ P(Z < 1.125) \approx 0.8944 \]