题目

求函数 f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3 在区域 D: x^2 + y^2 leq 16 上的最小值。

求函数 $f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3$ 在区域 $D: x^2 + y^2 \leq 16$ 上的最小值。

题目解答

答案

我们要求函数
$f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3$
在区域
$D: x^2 + y^2 \leq 16$
上的最小值。

第一步：理解函数和区域

  • 函数 $ f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3 $ 是一个定义在 $ \mathbb{R}^2 $ 上的光滑函数。
  • 区域 $ D $ 是一个以原点为中心，半径为 4 的闭圆盘（包括边界）。

我们要找的是函数在这个闭区域上的最小值。根据极值理论，函数在闭区域上的极值可能出现在：

  1. 内部极值点（即函数在区域内部的驻点）；
  2. 边界上的极值点。

第二步：找内部极值点

我们先求函数在区域内部的极值点（即驻点）。

求偏导数：

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6x - 3x^2$
$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 6y$

令偏导数为 0：

$f_x = 0 \Rightarrow 6x - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ 或 } x = 2$
$f_y = 0 \Rightarrow 6y = 0 \Rightarrow y = 0$

所以驻点为：

  • $ (0, 0) $
  • $ (2, 0) $

检查这些点是否在区域 $ D $ 内：

  • $ (0, 0): x^2 + y^2 = 0 \leq 16 $，在内部；
  • $ (2, 0): x^2 + y^2 = 4 \leq 16 $，在内部。

计算函数值：

  • $ f(0, 0) = 3(0)^2 + 3(0)^2 - (0)^3 = 0 $
  • $ f(2, 0) = 3(4) + 0 - 8 = 12 - 8 = 4 $

第三步：考虑边界上的极值

边界是 $ x^2 + y^2 = 16 $，我们可以用拉格朗日乘数法或参数化法处理。

方法一：参数化边界

令：
$x = 4\cos\theta,\quad y = 4\sin\theta$
代入函数：
$f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3 = 3(x^2 + y^2) - x^3 = 3(16) - x^3 = 48 - x^3$
因为 $ x = 4\cos\theta $，所以：
$f(x, y) = 48 - (4\cos\theta)^3 = 48 - 64\cos^3\theta$

我们要找这个表达式的最小值，即找 $ \cos^3\theta $ 的最大值。

  • $ \cos\theta \in [-1, 1] $
  • $ \cos^3\theta \in [-1, 1] $
  • 所以 $ f(x, y) \in [48 - 64, 48 + 64] = [-16, 112] $

最小值为：
$\boxed{-16}$
当 $ \cos\theta = 1 \Rightarrow x = 4, y = 0 $

第四步：比较所有极值

我们已经计算了：

  • 内部极值点：
    • $ f(0, 0) = 0 $
    • $ f(2, 0) = 4 $
  • 边界上最小值：$ f(4, 0) = -16 $

所以，函数在区域 $ D $ 上的最小值为：
$\boxed{-16}$

✅ 最终答案：

$\boxed{-16}$

这是函数 $ f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3 $ 在区域 $ x^2 + y^2 \leq 16 $ 上的最小值。

解析

本题考查二元函数在闭区域上的最值问题。解题思路是先找出函数在区域内部的驻点，计算这些驻点处的函数值，再通过参数化边界的方法求出函数在边界上的最值，最后比较内部驻点和边界上的函数值，从而得到函数在整个闭区域上的最小值。

  1. 求内部极值点：
    • 首先求函数$f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3$的偏导数：
      • 对$x$求偏导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6x - 3x^2$。
      • 对$y$求偏导数，可得$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 6y$。
    • 令偏导数为$0$，求解驻点：
      • 由$f_x = 0$，即$6x - 3x^2 = 0$，提取公因式$3x$得到$3x(2 - x) = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$。
      • 由$f_y = 0$，即$6y = 0$，解得$y = 0$。
      • 所以驻点为$(0, 0)$和$(2, 0)$。
    • 检查驻点是否在区域$D: x^2 + y^2 \leq 16$内：
      • 对于点$(0, 0)$，$x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 \leq 16$，在区域内。
      • 对于点$(2, 0)$，$x^2 + y^2 = 2^2 + 0^2 = 4 \leq 16$，在区域内。
    • 计算驻点处的函数值：
      • $f(0, 0) = 3\times0^2 + 3\times0^2 - 0^3 = 0$。
      • $f(2, 0) = 3\times2^2 + 3\times0^2 - 2^3 = 3\times4 + 0 - 8 = 12 - 8 = 4$。
  2. 求边界上的极值：
    • 区域$D$的边界为$x^2 + y^2 = 16$，采用参数化方法，令$x = 4\cos\theta$，$y = 4\sin\theta$。
    • 将参数代入函数$f(x, y)$：
      • 因为$f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3 = 3(x^2 + y^2) - x^3$，而$x^2 + y^2 = 16$，所以$f(x, y) = 3\times16 - x^3 = 48 - x^3$。
      • 又因为$x = 4\cos\theta$，则$f(x, y) = 48 - (4\cos\theta)^3 = 48 - 64\cos^3\theta$。
    • 求$f(x, y)$的最小值，即求$\cos^3\theta$的最大值：
      • 已知$\cos\theta \in [-1, 1]$，那么$\cos^3\theta \in [-1, 1]$。
      • 当$\cos^3\theta = 1$时，$f(x, y)$取得最小值，$f(x, y)_{min} = 48 - 64\times1 = -16$。
      • 此时$\cos\theta = 1$，则$x = 4\cos\theta = 4$，$y = 4\sin\theta = 0$，即点$(4, 0)$。
  3. 比较所有极值：
    • 内部极值点的函数值为$f(0, 0) = 0$，$f(2, 0) = 4$；边界上的最小值为$f(4, 0) = -16$。
    • 比较可得$-16\lt0\lt4$，所以函数在区域$D$上的最小值为$-16$。