题目
两台同样自动记录仪独立工作，每台无故障工作的时间服从期望为1的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用另一台自动开启，则两台记录仪无故障工作的总时间X的方差为（）。A.1B.2C.4D.0.5
两台同样自动记录仪独立工作，每台无故障工作的时间服从期望为1的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用另一台自动开启，则两台记录仪无故障工作的总时间X的方差为（）。
A.1
B.2
C.4
D.0.5
题目解答
答案
∵每台无故障工作的时间服从期望为1的指数分布
∴
设两台机器无故障工作分别为
则
∴两台记录仪无故障工作的总时间
∴
故此题选B
解析
步骤 1：确定每台记录仪无故障工作时间的分布
每台记录仪无故障工作的时间服从期望为1的指数分布，即$\dfrac {1}{\lambda }=1$，因此$\lambda =1$。
步骤 2：定义两台记录仪无故障工作时间的随机变量
设两台记录仪无故障工作的时间分别为$X_1$和$X_2$，则$X_1\sim E(1)$，$X_2\sim E(1)$，其中$E(1)$表示参数为1的指数分布。
步骤 3：计算两台记录仪无故障工作的总时间的方差
两台记录仪无故障工作的总时间$X=X_1+X_2$，因此$D(X)=D(X_1+X_2)$。由于$X_1$和$X_2$是独立的，所以$D(X_1+X_2)=D(X_1)+D(X_2)$。对于指数分布$E(\lambda)$，其方差为$\dfrac {1}{{\lambda}^{2}}$，因此$D(X_1)=\dfrac {1}{{1}^{2}}=1$，$D(X_2)=\dfrac {1}{{1}^{2}}=1$。所以$D(X)=1+1=2$。
每台记录仪无故障工作的时间服从期望为1的指数分布，即$\dfrac {1}{\lambda }=1$，因此$\lambda =1$。
步骤 2：定义两台记录仪无故障工作时间的随机变量
设两台记录仪无故障工作的时间分别为$X_1$和$X_2$，则$X_1\sim E(1)$，$X_2\sim E(1)$，其中$E(1)$表示参数为1的指数分布。
步骤 3：计算两台记录仪无故障工作的总时间的方差
两台记录仪无故障工作的总时间$X=X_1+X_2$，因此$D(X)=D(X_1+X_2)$。由于$X_1$和$X_2$是独立的，所以$D(X_1+X_2)=D(X_1)+D(X_2)$。对于指数分布$E(\lambda)$，其方差为$\dfrac {1}{{\lambda}^{2}}$，因此$D(X_1)=\dfrac {1}{{1}^{2}}=1$，$D(X_2)=\dfrac {1}{{1}^{2}}=1$。所以$D(X)=1+1=2$。