题目
2.对一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、1-|||-名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设-|||-各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.-|||-(1)求参加会议的家长数超过450的概率;-|||-(2)求仅有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.
题目解答
答案
[解](1)引进随机变量 X_{i}= '第i个学生来参加家长会的家长数设X为参加会议的总家长数,则 X=\\sum_{i=1}^{400}X_{i} ,则X;的分布律为 X 0 1 P 0.05 0.8 E(X_{i})=0 \\times 0.05+1 \\times 0.8+2 \\times 0.15=1.1,E(X_{i}^{2})=0^{2}\\times 0.05+1^{2}\\times 0.8+2^{2}\\times 0.15=1.4,D(X_{i})=E(X_{i}^{2})-[E(X_{i})]^{2}=1.4-1.1^{2}=0.19 ,由林德伯格—列维中心极限定理得 P\\{X>450\\}=P\\{\\sum_{i=1}^{400}X_{i}>450\\}=1-P\\{\\sum_{i=1}^{400}X_{i}\\le{slant}450\\}=1-P\\cases{\\sum_{i=1}^{400}X_{i}-400 \\times 1.1}\\approx 1-\\Phi(1.147)=1-0.8749=0.1251.(2) 设Y为仅有1名家长来参加会议的学生数,则 Y \\sim B(400,0.8) ,拉斯中心极限定理得,Y近似服从 N(400 \\times 0.8,400 \\times 0.8 \\times 0.2) ,所以 P\\{Y\\le340\\}=P\\{\\frac{Y-320}{\\sqrt{64}}\\le\\frac{340-320}{\\sqrt{64}}\\}\\approx \\Phi(\\frac{20}{8})=\\Phi(2.5)=0.9938.\"(i=1,2,\\dotsc,400).2 0.15 由棣莫弗一拉普所以
解析
步骤 1：定义随机变量
设 \(X_i\) 表示第 \(i\) 个学生来参加家长会的家长数，\(i=1,2,\ldots,400\)。则 \(X_i\) 的分布律为：
\[
\begin{array}{c|ccc}
X_i & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P & 0.05 & 0.8 & 0.15 \\
\end{array}
\]
步骤 2：计算期望和方差
计算 \(X_i\) 的期望 \(E(X_i)\) 和方差 \(D(X_i)\)：
\[
E(X_i) = 0 \times 0.05 + 1 \times 0.8 + 2 \times 0.15 = 1.1
\]
\[
E(X_i^2) = 0^2 \times 0.05 + 1^2 \times 0.8 + 2^2 \times 0.15 = 1.4
\]
\[
D(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = 1.4 - 1.1^2 = 0.19
\]
步骤 3：求总家长数的分布
设 \(X\) 为参加会议的总家长数，则 \(X = \sum_{i=1}^{400} X_i\)。由中心极限定理，\(X\) 近似服从正态分布 \(N(400 \times 1.1, 400 \times 0.19)\)。
步骤 4：计算超过450的概率
\[
P(X > 450) = P\left(\frac{X - 400 \times 1.1}{\sqrt{400 \times 0.19}} > \frac{450 - 400 \times 1.1}{\sqrt{400 \times 0.19}}\right) = P\left(Z > \frac{450 - 440}{\sqrt{76}}\right) = P(Z > 1.147)
\]
其中 \(Z\) 为标准正态分布的随机变量。查标准正态分布表得 \(P(Z > 1.147) = 1 - \Phi(1.147) = 1 - 0.8749 = 0.1251\)。
步骤 5：求仅有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率
设 \(Y\) 为仅有1名家长来参加会议的学生数，则 \(Y \sim B(400, 0.8)\)。由中心极限定理，\(Y\) 近似服从正态分布 \(N(400 \times 0.8, 400 \times 0.8 \times 0.2)\)。
\[
P(Y \leq 340) = P\left(\frac{Y - 400 \times 0.8}{\sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2}} \leq \frac{340 - 400 \times 0.8}{\sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2}}\right) = P\left(Z \leq \frac{340 - 320}{\sqrt{64}}\right) = P(Z \leq 2.5)
\]
查标准正态分布表得 \(P(Z \leq 2.5) = 0.9938\)。
设 \(X_i\) 表示第 \(i\) 个学生来参加家长会的家长数，\(i=1,2,\ldots,400\)。则 \(X_i\) 的分布律为：
\[
\begin{array}{c|ccc}
X_i & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P & 0.05 & 0.8 & 0.15 \\
\end{array}
\]
步骤 2：计算期望和方差
计算 \(X_i\) 的期望 \(E(X_i)\) 和方差 \(D(X_i)\)：
\[
E(X_i) = 0 \times 0.05 + 1 \times 0.8 + 2 \times 0.15 = 1.1
\]
\[
E(X_i^2) = 0^2 \times 0.05 + 1^2 \times 0.8 + 2^2 \times 0.15 = 1.4
\]
\[
D(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = 1.4 - 1.1^2 = 0.19
\]
步骤 3：求总家长数的分布
设 \(X\) 为参加会议的总家长数，则 \(X = \sum_{i=1}^{400} X_i\)。由中心极限定理，\(X\) 近似服从正态分布 \(N(400 \times 1.1, 400 \times 0.19)\)。
步骤 4：计算超过450的概率
\[
P(X > 450) = P\left(\frac{X - 400 \times 1.1}{\sqrt{400 \times 0.19}} > \frac{450 - 400 \times 1.1}{\sqrt{400 \times 0.19}}\right) = P\left(Z > \frac{450 - 440}{\sqrt{76}}\right) = P(Z > 1.147)
\]
其中 \(Z\) 为标准正态分布的随机变量。查标准正态分布表得 \(P(Z > 1.147) = 1 - \Phi(1.147) = 1 - 0.8749 = 0.1251\)。
步骤 5：求仅有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率
设 \(Y\) 为仅有1名家长来参加会议的学生数，则 \(Y \sim B(400, 0.8)\)。由中心极限定理，\(Y\) 近似服从正态分布 \(N(400 \times 0.8, 400 \times 0.8 \times 0.2)\)。
\[
P(Y \leq 340) = P\left(\frac{Y - 400 \times 0.8}{\sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2}} \leq \frac{340 - 400 \times 0.8}{\sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2}}\right) = P\left(Z \leq \frac{340 - 320}{\sqrt{64}}\right) = P(Z \leq 2.5)
\]
查标准正态分布表得 \(P(Z \leq 2.5) = 0.9938\)。